Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 2
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Her bir ifadeyi ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım:
x² - y²: (x-y)(x+y)
x²y + xy²: xy(x+y)
x² + xy: x(x+y)
Şimdi ifadeyi çarpanlara ayrılmış haliyle yazalım:
[ (x-y)(x+y) / xy(x+y) ] · [ x(x+y) / (x-y) ]
Sadeleştirmeleri yapalım:
· (x-y) terimleri sadeleşir.
· (x+y) terimlerinden biri sadeleşir.
· x terimi sadeleşir.
Geriye kalanlar: (x+y) / y.
olduğuna göre, x² + 1/x² ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
İstenen ifadeyi elde etmek için verilen ifadenin her iki tarafının karesini alalım.
(x - 1/x)² = 5²
Tam kare açılımını yapalım: (a-b)² = a² - 2ab + b²
x² - 2 · x · (1/x) + (1/x)² = 25
x² - 2 + 1/x² = 25
2'yi karşı tarafa atalım:
x² + 1/x² = 25 + 2 = 27.
a² + b² - 6a + 10b + 34 = 0
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu ifadeyi tam karelere tamamlayarak düzenleyelim.
(a² - 6a) + (b² + 10b) + 34 = 0
a²-6a ifadesini tam kare yapmak için (6/2)²=9 ekleyip çıkarmalıyız.
b²+10b ifadesini tam kare yapmak için (10/2)²=25 ekleyip çıkarmalıyız.
(a² - 6a + 9) - 9 + (b² + 10b + 25) - 25 + 34 = 0
(a - 3)² + (b + 5)² - 34 + 34 = 0
(a - 3)² + (b + 5)² = 0
İki kareli ifadenin toplamının sıfır olması için her birinin ayrı ayrı sıfır olması gerekir.
a - 3 = 0 => a = 3
b + 5 = 0 => b = -5
Toplam: a + b = 3 + (-5) = -2.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
Çözüm:
Bu ifade, ikinci dereceden bir denkleme benzetilerek çözülebilir. x² = a diyelim.
a² - 5a + 4
Çarpımları +4, toplamları -5 olan sayılar -1 ve -4'tür.
(a - 1)(a - 4)
Şimdi 'a' yerine tekrar x² yazalım:
(x² - 1)(x² - 4)
Her iki ifade de iki kare farkıdır. Tekrar çarpanlarına ayıralım:
(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
İfadenin çarpanları: (x-1), (x+1), (x-2), (x+2). Seçeneklerde olmayan x-4'tür.
x² - 4x + 7 ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
x'i doğrudan yerine koymak yerine, verilen ifadeyi düzenleyerek köklü ifadeden kurtulalım.
x = √5 + 2 => x - 2 = √5
Her iki tarafın karesini alalım:
(x - 2)² = (√5)²
x² - 4x + 4 = 5
x² - 4x = 1
Şimdi istenen ifadeye bakalım: x² - 4x + 7.
Bulduğumuz (x² - 4x) değerini yerine yazalım:
1 + 7 = 8.
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayıralım.
İlk iki terimi x² parantezine, son iki terimi -1 parantezine alalım:
(x³ + x²) - (x + 1)
x²(x + 1) - 1(x + 1)
Şimdi (x+1) ortak parantezine alalım:
(x + 1)(x² - 1)
x²-1 ifadesi iki kare farkıdır, onu da çarpanlarına ayıralım: (x-1)(x+1).
(x + 1)(x - 1)(x + 1) = (x+1)²(x-1).
ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Parantezi açarak başlayalım:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Şimdi ifadeyi tekrar yazalım:
(x² + 2xy + y²) - 4xy
Benzer terimleri birleştirelim:
x² + (2xy - 4xy) + y²
= x² - 2xy + y²
Bu ifade, (x-y)²'nin tam kare açılımıdır.
x² - y² = 17
olduğuna göre, x² + y² toplamı kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifadede iki kare farkı özdeşliğini kullanalım:
(x - y)(x + y) = 17
17 bir asal sayıdır. Çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
x ve y pozitif tam sayılar olduğu için (x+y) > (x-y) ve (x+y) > 0 olmalıdır.
Bu durumda tek bir olasılık vardır:
x - y = 1
x + y = 17
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 18 => x = 9.
x=9 ise, 9 + y = 17 => y = 8.
Şimdi istenen ifadeyi hesaplayalım:
x² + y² = 9² + 8² = 81 + 64 = 145.
b² - ab = -16
olduğuna göre, a-b farkı kaçtır?
Çözüm:
İki denklemi taraf tarafa çıkaralım:
(a² - ab) - (b² - ab) = 20 - (-16)
a² - ab - b² + ab = 20 + 16
a² - b² = 36
Şimdi denklemleri taraf tarafa toplayalım:
(a² - ab) + (b² - ab) = 20 + (-16)
a² - 2ab + b² = 4
(a - b)² = 4
Bu durumda a-b = 2 veya a-b = -2 olabilir.
a²-b²=36 => (a-b)(a+b)=36.
Eğer a-b=2 ise 2(a+b)=36 => a+b=18. a-b=2 ve a+b=18 denklemlerinden 2a=20, a=10, b=8 bulunur. a²-ab = 100-80=20. b²-ab=64-80=-16. Sağlıyor.
a-b farkı 2'dir.
ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Her iki tam kare ifadeyi de açalım:
1. İfade: (ax+by)² = a²x² + 2abxy + b²y²
2. İfade: (bx-ay)² = b²x² - 2abxy + a²y²
Şimdi bu iki açılımı toplayalım:
(a²x² + 2abxy + b²y²) + (b²x² - 2abxy + a²y²)
+2abxy ve -2abxy terimleri birbirini götürür.
a²x² + b²y² + b²x² + a²y²
Terimleri yeniden gruplayalım: (a²x² + b²x²) + (a²y² + b²y²)
Ortak paranteze alalım: x²(a²+b²) + y²(a²+b²)
Şimdi (a²+b²) ortak parantezine alalım: (a²+b²)(x²+y²).
olduğuna göre, x³+y³ toplamı kaçtır?
Çözüm:
İki küp toplamı özdeşliğini kullanalım: x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²).
Önce x²+y² ifadesinin değerini bulmalıyız. (x+y)² = x²+2xy+y² formülünden:
6² = x² + 2(7) + y²
36 = x² + 14 + y²
x² + y² = 22.
Şimdi bu değeri küp toplamı formülünde yerine yazalım:
x³+y³ = (x+y)( (x²+y²) - xy )
x³+y³ = (6)( 22 - 7 ) = 6 · 15 = 90.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
ax²+bx+c şeklindeki ifadelerde, ax² ve c terimlerini çarpanlarına ayırarak çapraz çarpım yoluyla ortadaki terimi bulmaya çalışırız.
2x² -> 2x , x
-15 -> +3 , -5
Çapraz çarpıp toplayalım: (2x · -5) + (x · 3) = -10x + 3x = -7x.
Ortadaki terimi bulduğumuz için çarpanları yan yana yazarız:
(2x + 3)(x - 5)
Çarpanlar (2x+3) ve (x-5)'tir. Seçeneklerde x-5 bulunmaktadır.
Tebrikler!
Çarpanlara Ayırma konusunun ikinci testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.
Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 2
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Her bir ifadeyi ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım:
x² - y²: (x-y)(x+y)
x²y + xy²: xy(x+y)
x² + xy: x(x+y)
Şimdi ifadeyi çarpanlara ayrılmış haliyle yazalım:
[ (x-y)(x+y) / xy(x+y) ] · [ x(x+y) / (x-y) ]
Sadeleştirmeleri yapalım:
· (x-y) terimleri sadeleşir.
· (x+y) terimlerinden biri sadeleşir.
· x terimi sadeleşir.
Geriye kalanlar: (x+y) / y.
olduğuna göre, x² + 1/x² ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
İstenen ifadeyi elde etmek için verilen ifadenin her iki tarafının karesini alalım.
(x - 1/x)² = 5²
Tam kare açılımını yapalım: (a-b)² = a² - 2ab + b²
x² - 2 · x · (1/x) + (1/x)² = 25
x² - 2 + 1/x² = 25
2'yi karşı tarafa atalım:
x² + 1/x² = 25 + 2 = 27.
a² + b² - 6a + 10b + 34 = 0
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu ifadeyi tam karelere tamamlayarak düzenleyelim.
(a² - 6a) + (b² + 10b) + 34 = 0
a²-6a ifadesini tam kare yapmak için (6/2)²=9 ekleyip çıkarmalıyız.
b²+10b ifadesini tam kare yapmak için (10/2)²=25 ekleyip çıkarmalıyız.
(a² - 6a + 9) - 9 + (b² + 10b + 25) - 25 + 34 = 0
(a - 3)² + (b + 5)² - 34 + 34 = 0
(a - 3)² + (b + 5)² = 0
İki kareli ifadenin toplamının sıfır olması için her birinin ayrı ayrı sıfır olması gerekir.
a - 3 = 0 => a = 3
b + 5 = 0 => b = -5
Toplam: a + b = 3 + (-5) = -2.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
Çözüm:
Bu ifade, ikinci dereceden bir denkleme benzetilerek çözülebilir. x² = a diyelim.
a² - 5a + 4
Çarpımları +4, toplamları -5 olan sayılar -1 ve -4'tür.
(a - 1)(a - 4)
Şimdi 'a' yerine tekrar x² yazalım:
(x² - 1)(x² - 4)
Her iki ifade de iki kare farkıdır. Tekrar çarpanlarına ayıralım:
(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)
İfadenin çarpanları: (x-1), (x+1), (x-2), (x+2). Seçeneklerde olmayan x-4'tür.
x² - 4x + 7 ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
x'i doğrudan yerine koymak yerine, verilen ifadeyi düzenleyerek köklü ifadeden kurtulalım.
x = √5 + 2 => x - 2 = √5
Her iki tarafın karesini alalım:
(x - 2)² = (√5)²
x² - 4x + 4 = 5
x² - 4x = 1
Şimdi istenen ifadeye bakalım: x² - 4x + 7.
Bulduğumuz (x² - 4x) değerini yerine yazalım:
1 + 7 = 8.
ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayıralım.
İlk iki terimi x² parantezine, son iki terimi -1 parantezine alalım:
(x³ + x²) - (x + 1)
x²(x + 1) - 1(x + 1)
Şimdi (x+1) ortak parantezine alalım:
(x + 1)(x² - 1)
x²-1 ifadesi iki kare farkıdır, onu da çarpanlarına ayıralım: (x-1)(x+1).
(x + 1)(x - 1)(x + 1) = (x+1)²(x-1).
ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Parantezi açarak başlayalım:
(x+y)² = x² + 2xy + y²
Şimdi ifadeyi tekrar yazalım:
(x² + 2xy + y²) - 4xy
Benzer terimleri birleştirelim:
x² + (2xy - 4xy) + y²
= x² - 2xy + y²
Bu ifade, (x-y)²'nin tam kare açılımıdır.
x² - y² = 17
olduğuna göre, x² + y² toplamı kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifadede iki kare farkı özdeşliğini kullanalım:
(x - y)(x + y) = 17
17 bir asal sayıdır. Çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
x ve y pozitif tam sayılar olduğu için (x+y) > (x-y) ve (x+y) > 0 olmalıdır.
Bu durumda tek bir olasılık vardır:
x - y = 1
x + y = 17
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 18 => x = 9.
x=9 ise, 9 + y = 17 => y = 8.
Şimdi istenen ifadeyi hesaplayalım:
x² + y² = 9² + 8² = 81 + 64 = 145.
b² - ab = -16
olduğuna göre, a-b farkı kaçtır?
Çözüm:
İki denklemi taraf tarafa çıkaralım:
(a² - ab) - (b² - ab) = 20 - (-16)
a² - ab - b² + ab = 20 + 16
a² - b² = 36
Şimdi denklemleri taraf tarafa toplayalım:
(a² - ab) + (b² - ab) = 20 + (-16)
a² - 2ab + b² = 4
(a - b)² = 4
Bu durumda a-b = 2 veya a-b = -2 olabilir.
a²-b²=36 => (a-b)(a+b)=36.
Eğer a-b=2 ise 2(a+b)=36 => a+b=18. a-b=2 ve a+b=18 denklemlerinden 2a=20, a=10, b=8 bulunur. a²-ab = 100-80=20. b²-ab=64-80=-16. Sağlıyor.
a-b farkı 2'dir.
ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Her iki tam kare ifadeyi de açalım:
1. İfade: (ax+by)² = a²x² + 2abxy + b²y²
2. İfade: (bx-ay)² = b²x² - 2abxy + a²y²
Şimdi bu iki açılımı toplayalım:
(a²x² + 2abxy + b²y²) + (b²x² - 2abxy + a²y²)
+2abxy ve -2abxy terimleri birbirini götürür.
a²x² + b²y² + b²x² + a²y²
Terimleri yeniden gruplayalım: (a²x² + b²x²) + (a²y² + b²y²)
Ortak paranteze alalım: x²(a²+b²) + y²(a²+b²)
Şimdi (a²+b²) ortak parantezine alalım: (a²+b²)(x²+y²).
olduğuna göre, x³+y³ toplamı kaçtır?
Çözüm:
İki küp toplamı özdeşliğini kullanalım: x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²).
Önce x²+y² ifadesinin değerini bulmalıyız. (x+y)² = x²+2xy+y² formülünden:
6² = x² + 2(7) + y²
36 = x² + 14 + y²
x² + y² = 22.
Şimdi bu değeri küp toplamı formülünde yerine yazalım:
x³+y³ = (x+y)( (x²+y²) - xy )
x³+y³ = (6)( 22 - 7 ) = 6 · 15 = 90.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
ax²+bx+c şeklindeki ifadelerde, ax² ve c terimlerini çarpanlarına ayırarak çapraz çarpım yoluyla ortadaki terimi bulmaya çalışırız.
2x² -> 2x , x
-15 -> +3 , -5
Çapraz çarpıp toplayalım: (2x · -5) + (x · 3) = -10x + 3x = -7x.
Ortadaki terimi bulduğumuz için çarpanları yan yana yazarız:
(2x + 3)(x - 5)
Çarpanlar (2x+3) ve (x-5)'tir. Seçeneklerde x-5 bulunmaktadır.
Tebrikler!
Çarpanlara Ayırma konusunun ikinci testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.