Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 3
x² - 9y² = 19
olduğuna göre, x · y çarpımı kaçtır?
Çözüm:
İfadeyi iki kare farkı olarak çarpanlarına ayıralım: x² - (3y)² = (x - 3y)(x + 3y).
(x - 3y)(x + 3y) = 19
19 bir asal sayıdır ve çarpanları sadece 1 ve 19'dur. x ve y pozitif tam sayılar olduğu için x+3y daha büyük olan çarpandır.
x - 3y = 1
x + 3y = 19
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 20 => x = 10.
x=10 ise, 10 + 3y = 19 => 3y = 9 => y = 3.
x · y = 10 · 3 = 30.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
Çözüm:
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım. a = x² - x olsun.
İfade a² - 8a + 12 haline gelir.
Çarpımları +12, toplamları -8 olan sayılar -2 ve -6'dır.
(a - 2)(a - 6)
Şimdi 'a' yerine tekrar x² - x yazalım:
(x² - x - 2)(x² - x - 6)
Her iki ifadeyi de tekrar çarpanlarına ayıralım:
(x-2)(x+1) · (x-3)(x+2)
İfadenin çarpanları: (x-2), (x+1), (x-3), (x+2). Seçeneklerde olmayan x+3'tür.
x³ - 8 = 0
olduğuna göre, x² + 2x ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
x³ - 8 ifadesi iki küp farkıdır (x³-2³).
x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4) = 0
Soruda x ≠ 2 olduğu belirtildiğine göre, (x-2) terimi sıfır olamaz.
Bu durumda, çarpımın sıfır olması için diğer çarpanın sıfır olması gerekir:
x² + 2x + 4 = 0
Bizden istenen x² + 2x ifadesinin değeridir. 4'ü karşıya atalım:
x² + 2x = -4.
b = ³√25 + ³√5 + 1
olduğuna göre, a · b çarpımının sonucu kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifadeler iki küp farkı özdeşliğinin (x-y)(x²+xy+y²) = x³-y³ açılımına benzemektedir.
x = ³√5 ve y = 1 alırsak:
a = x - y
b = x² + xy + y² (Çünkü (³√5)²=³√25 ve (³√5)·1=³√5)
a · b = (x - y)(x² + xy + y²) = x³ - y³
Değerleri yerine yazalım:
a · b = (³√5)³ - 1³ = 5 - 1 = 4.
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
97 · 103 çarpımını iki kare farkı özdeşliğine benzetebiliriz.
97 = 100 - 3
103 = 100 + 3
97 · 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100² - 3² = 10000 - 9.
Şimdi ifadeyi tekrar yazalım:
(10000 - 9 + 9) / 1000
= 10000 / 1000
= 10.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu ifadeyi tam kareye tamamlamak için terim ekleyip çıkaralım. (Sophie Germain Özdeşliği)
İfadeyi (x²)² + 2² olarak düşünebiliriz. Tam kare olması için ortada 2·x²·2 = 4x² terimi olmalı.
x⁴ + 4x² + 4 - 4x²
İlk üç terim (x²+2)²'nin açılımıdır.
(x² + 2)² - 4x²
(x² + 2)² - (2x)²
Şimdi iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım:
[(x² + 2) - 2x] · [(x² + 2) + 2x]
= (x² - 2x + 2)(x² + 2x + 2)
Çarpanlardan biri x²-2x+2'dir.
(x³ - 1) / (x² + x + 1)
ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Paydaki x³ - 1 ifadesi, iki küp farkı özdeşliğidir.
x³ - 1³ = (x - 1)(x² + x·1 + 1²) = (x - 1)(x² + x + 1).
Şimdi ifadeyi bu açılımla tekrar yazalım:
[ (x - 1)(x² + x + 1) ] / (x² + x + 1)
Pay ve paydadaki (x² + x + 1) terimleri sadeleşir.
Geriye sadece (x - 1) kalır.
x = 2024 olduğuna göre, sonuç: 2024 - 1 = 2023.
x² - y² = 17
olduğuna göre, x² + y² toplamı kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifadede iki kare farkı özdeşliğini kullanalım:
(x - y)(x + y) = 17
17 bir asal sayıdır. Çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
x ve y pozitif tam sayılar olduğu için (x+y) > (x-y) ve (x+y) > 0 olmalıdır.
Bu durumda tek bir olasılık vardır:
x - y = 1
x + y = 17
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 18 => x = 9.
x=9 ise, 9 + y = 17 => y = 8.
Şimdi istenen ifadeyi hesaplayalım:
x² + y² = 9² + 8² = 81 + 64 = 145.
b² - ab = -16
olduğuna göre, a-b farkının pozitif değeri kaçtır?
Çözüm:
İki denklemi taraf tarafa çıkaralım:
(a² - ab) - (b² - ab) = 20 - (-16)
a² - ab - b² + ab = 20 + 16
a² - b² = 36
Şimdi denklemleri taraf tarafa toplayalım:
(a² - ab) + (b² - ab) = 20 + (-16)
a² - 2ab + b² = 4
Bu ifade (a - b)²'nin açılımıdır.
(a - b)² = 4
Bu durumda a-b = 2 veya a-b = -2 olabilir. Soruda pozitif değeri istendiği için cevap 2'dir.
ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Her iki tam kare ifadeyi de açalım:
1. İfade: (ax+by)² = a²x² + 2abxy + b²y²
2. İfade: (bx-ay)² = b²x² - 2abxy + a²y²
Şimdi bu iki açılımı toplayalım:
(a²x² + 2abxy + b²y²) + (b²x² - 2abxy + a²y²)
+2abxy ve -2abxy terimleri birbirini götürür.
a²x² + b²y² + b²x² + a²y²
Terimleri yeniden gruplayalım: (a²x² + b²x²) + (a²y² + b²y²)
Ortak paranteze alalım: x²(a²+b²) + y²(a²+b²)
Şimdi (a²+b²) ortak parantezine alalım: (a²+b²)(x²+y²).
olduğuna göre, x³+y³ toplamı kaçtır?
Çözüm:
İki küp toplamı özdeşliğini kullanalım: x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²).
Önce x²+y² ifadesinin değerini bulmalıyız. (x+y)² = x²+2xy+y² formülünden:
6² = x² + 2(7) + y²
36 = x² + 14 + y²
x² + y² = 22.
Şimdi bu değeri küp toplamı formülünde yerine yazalım:
x³+y³ = (x+y)( (x²+y²) - xy )
x³+y³ = (6)( 22 - 7 ) = 6 · 15 = 90.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
ax²+bx+c şeklindeki ifadelerde, ax² ve c terimlerini çarpanlarına ayırarak çapraz çarpım yoluyla ortadaki terimi bulmaya çalışırız.
2x² -> 2x , x
-15 -> +3 , -5
Çapraz çarpıp toplayalım: (2x · -5) + (x · 3) = -10x + 3x = -7x.
Ortadaki terimi bulduğumuz için çarpanları yan yana yazarız:
(2x + 3)(x - 5)
Çarpanlar (2x+3) ve (x-5)'tir. Seçeneklerde x-5 bulunmaktadır.
Tebrikler!
Çarpanlara Ayırma konusunun üçüncü testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.
Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 3
x² - 9y² = 19
olduğuna göre, x · y çarpımı kaçtır?
Çözüm:
İfadeyi iki kare farkı olarak çarpanlarına ayıralım: x² - (3y)² = (x - 3y)(x + 3y).
(x - 3y)(x + 3y) = 19
19 bir asal sayıdır ve çarpanları sadece 1 ve 19'dur. x ve y pozitif tam sayılar olduğu için x+3y daha büyük olan çarpandır.
x - 3y = 1
x + 3y = 19
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 20 => x = 10.
x=10 ise, 10 + 3y = 19 => 3y = 9 => y = 3.
x · y = 10 · 3 = 30.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?
Çözüm:
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım. a = x² - x olsun.
İfade a² - 8a + 12 haline gelir.
Çarpımları +12, toplamları -8 olan sayılar -2 ve -6'dır.
(a - 2)(a - 6)
Şimdi 'a' yerine tekrar x² - x yazalım:
(x² - x - 2)(x² - x - 6)
Her iki ifadeyi de tekrar çarpanlarına ayıralım:
(x-2)(x+1) · (x-3)(x+2)
İfadenin çarpanları: (x-2), (x+1), (x-3), (x+2). Seçeneklerde olmayan x+3'tür.
x³ - 8 = 0
olduğuna göre, x² + 2x ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
x³ - 8 ifadesi iki küp farkıdır (x³-2³).
x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4) = 0
Soruda x ≠ 2 olduğu belirtildiğine göre, (x-2) terimi sıfır olamaz.
Bu durumda, çarpımın sıfır olması için diğer çarpanın sıfır olması gerekir:
x² + 2x + 4 = 0
Bizden istenen x² + 2x ifadesinin değeridir. 4'ü karşıya atalım:
x² + 2x = -4.
b = ³√25 + ³√5 + 1
olduğuna göre, a · b çarpımının sonucu kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifadeler iki küp farkı özdeşliğinin (x-y)(x²+xy+y²) = x³-y³ açılımına benzemektedir.
x = ³√5 ve y = 1 alırsak:
a = x - y
b = x² + xy + y² (Çünkü (³√5)²=³√25 ve (³√5)·1=³√5)
a · b = (x - y)(x² + xy + y²) = x³ - y³
Değerleri yerine yazalım:
a · b = (³√5)³ - 1³ = 5 - 1 = 4.
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
97 · 103 çarpımını iki kare farkı özdeşliğine benzetebiliriz.
97 = 100 - 3
103 = 100 + 3
97 · 103 = (100 - 3)(100 + 3) = 100² - 3² = 10000 - 9.
Şimdi ifadeyi tekrar yazalım:
(10000 - 9 + 9) / 1000
= 10000 / 1000
= 10.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu ifadeyi tam kareye tamamlamak için terim ekleyip çıkaralım. (Sophie Germain Özdeşliği)
İfadeyi (x²)² + 2² olarak düşünebiliriz. Tam kare olması için ortada 2·x²·2 = 4x² terimi olmalı.
x⁴ + 4x² + 4 - 4x²
İlk üç terim (x²+2)²'nin açılımıdır.
(x² + 2)² - 4x²
(x² + 2)² - (2x)²
Şimdi iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım:
[(x² + 2) - 2x] · [(x² + 2) + 2x]
= (x² - 2x + 2)(x² + 2x + 2)
Çarpanlardan biri x²-2x+2'dir.
(x³ - 1) / (x² + x + 1)
ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Paydaki x³ - 1 ifadesi, iki küp farkı özdeşliğidir.
x³ - 1³ = (x - 1)(x² + x·1 + 1²) = (x - 1)(x² + x + 1).
Şimdi ifadeyi bu açılımla tekrar yazalım:
[ (x - 1)(x² + x + 1) ] / (x² + x + 1)
Pay ve paydadaki (x² + x + 1) terimleri sadeleşir.
Geriye sadece (x - 1) kalır.
x = 2024 olduğuna göre, sonuç: 2024 - 1 = 2023.
x² - y² = 17
olduğuna göre, x² + y² toplamı kaçtır?
Çözüm:
Verilen ifadede iki kare farkı özdeşliğini kullanalım:
(x - y)(x + y) = 17
17 bir asal sayıdır. Çarpanları sadece 1 ve kendisidir.
x ve y pozitif tam sayılar olduğu için (x+y) > (x-y) ve (x+y) > 0 olmalıdır.
Bu durumda tek bir olasılık vardır:
x - y = 1
x + y = 17
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 18 => x = 9.
x=9 ise, 9 + y = 17 => y = 8.
Şimdi istenen ifadeyi hesaplayalım:
x² + y² = 9² + 8² = 81 + 64 = 145.
b² - ab = -16
olduğuna göre, a-b farkının pozitif değeri kaçtır?
Çözüm:
İki denklemi taraf tarafa çıkaralım:
(a² - ab) - (b² - ab) = 20 - (-16)
a² - ab - b² + ab = 20 + 16
a² - b² = 36
Şimdi denklemleri taraf tarafa toplayalım:
(a² - ab) + (b² - ab) = 20 + (-16)
a² - 2ab + b² = 4
Bu ifade (a - b)²'nin açılımıdır.
(a - b)² = 4
Bu durumda a-b = 2 veya a-b = -2 olabilir. Soruda pozitif değeri istendiği için cevap 2'dir.
ifadesinin özdeşi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Her iki tam kare ifadeyi de açalım:
1. İfade: (ax+by)² = a²x² + 2abxy + b²y²
2. İfade: (bx-ay)² = b²x² - 2abxy + a²y²
Şimdi bu iki açılımı toplayalım:
(a²x² + 2abxy + b²y²) + (b²x² - 2abxy + a²y²)
+2abxy ve -2abxy terimleri birbirini götürür.
a²x² + b²y² + b²x² + a²y²
Terimleri yeniden gruplayalım: (a²x² + b²x²) + (a²y² + b²y²)
Ortak paranteze alalım: x²(a²+b²) + y²(a²+b²)
Şimdi (a²+b²) ortak parantezine alalım: (a²+b²)(x²+y²).
olduğuna göre, x³+y³ toplamı kaçtır?
Çözüm:
İki küp toplamı özdeşliğini kullanalım: x³+y³ = (x+y)(x²-xy+y²).
Önce x²+y² ifadesinin değerini bulmalıyız. (x+y)² = x²+2xy+y² formülünden:
6² = x² + 2(7) + y²
36 = x² + 14 + y²
x² + y² = 22.
Şimdi bu değeri küp toplamı formülünde yerine yazalım:
x³+y³ = (x+y)( (x²+y²) - xy )
x³+y³ = (6)( 22 - 7 ) = 6 · 15 = 90.
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
ax²+bx+c şeklindeki ifadelerde, ax² ve c terimlerini çarpanlarına ayırarak çapraz çarpım yoluyla ortadaki terimi bulmaya çalışırız.
2x² -> 2x , x
-15 -> +3 , -5
Çapraz çarpıp toplayalım: (2x · -5) + (x · 3) = -10x + 3x = -7x.
Ortadaki terimi bulduğumuz için çarpanları yan yana yazarız:
(2x + 3)(x - 5)
Çarpanlar (2x+3) ve (x-5)'tir. Seçeneklerde x-5 bulunmaktadır.
Tebrikler!
Çarpanlara Ayırma konusunun üçüncü testini başarıyla tamamladınız.
Hazır olduğunuzda bir sonraki teste veya yeni bir konuya geçebiliriz.