Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 6
Çözüm:
Bu ifadeyi iki küp toplamı olarak düşünebiliriz: (x²)³ + 1³.
Küp toplamı özdeşliği: a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²).
Burada a = x² ve b = 1'dir.
(x² + 1)((x²)² - (x²)(1) + 1²)
= (x² + 1)(x⁴ - x² + 1).
Bu sonuç B seçeneğinde verilmiştir. C seçeneği ise x⁶-1'in açılımıdır.
Çözüm:
İfadeyi doğru gruplandırmak önemlidir. Son üç terim bir tam karenin negatifidir.
x² - (y² - 6y + 9)
Parantez içindeki ifade (y-3)²'nin açılımıdır.
x² - (y-3)²
Şimdi ifade iki kare farkı (a²-b²) haline geldi. a=x, b=(y-3).
[x - (y-3)][x + (y-3)]
= (x - y + 3)(x + y - 3)
Çarpanlardan biri (x-y+3)'tür ve A seçeneğinde verilmiştir.
a² + 4b² + 2a - 12b + 10 = 0
olduğuna göre, a·b çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Bu ifadeyi tam kare ifadeler toplamı şeklinde yazmalıyız. İki veya daha fazla tam kare ifadenin toplamı sıfır ise, her bir ifade ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.
İfadeyi düzenleyelim:
(a² + 2a) + (4b² - 12b) + 10 = 0
İlk parantezi (a+1)² yapmak için 1 eklemeliyiz. İkinci parantezi (2b-3)² yapmak için 9 eklemeliyiz. 1+9=10, sondaki sabite eşittir.
(a² + 2a + 1) + (4b² - 12b + 9) = 0
(a+1)² + (2b-3)² = 0
Bu durumda, a+1=0 ve 2b-3=0 olmalıdır.
a = -1
2b = 3 => b = 3/2
a·b = (-1) * (3/2) = -3/2.
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm:
Paydaki ifadeyi iki küp toplamı olarak açalım: a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²).
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x+3)(x² - 3x + 9).
Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
[(x+3)(x² - 3x + 9)] / (x² - 3x + 9) = 1
Paydadaki (x²-3x+9) ifadesi sıfır olamaz (Diskriminantı negatiftir), bu yüzden sadeleştirme yapabiliriz.
x + 3 = 1
x = 1 - 3
x = -2.
Çözüm:
Verilen denklemi, istenen ifadeye benzer bir yapıya getirmek için her terimi 'x'e bölelim.
x²/x + 5x/x - 3/x = 0/x
x + 5 - 3/x = 0
x - 3/x = -5
Şimdi bu ifadenin karesini alarak istenen ifadeyi elde edebiliriz:
(x - 3/x)² = (-5)²
x² - 2·x·(3/x) + (3/x)² = 25
x² - 6 + 9/x² = 25
x² + 9/x² = 25 + 6 = 31.
denkleminin gerçel köklerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım. a = x² - x diyelim.
Denklem (a-3)(a+5) = 9 haline gelir.
a² + 2a - 15 = 9
a² + 2a - 24 = 0
Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: (a+6)(a-4) = 0.
Buradan a=-6 veya a=4 bulunur.
Şimdi 'a' yerine x²-x yazarak iki ayrı denklem çözelim.
1. Durum: x² - x = -6 => x² - x + 6 = 0.
Bu denklemin diskriminantı (Δ = b²-4ac) = (-1)² - 4(1)(6) = 1 - 24 = -23.
Δ < 0 olduğu için bu denklemden gerçel kök gelmez.
2. Durum: x² - x = 4 => x² - x - 4 = 0.
Bu denklemin diskriminantı (Δ = b²-4ac) = (-1)² - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17.
Δ > 0 olduğu için bu denklemin iki farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin kökler toplamı -b/a formülü ile bulunur.
Kökler toplamı = -(-1)/1 = 1.
(ac-bd)² + (ad+bc)² ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Brahmagupta-Fibonacci özdeşliği olarak da bilinen (a²+b²)(c²+d²) = (ac-bd)² + (ad+bc)² formülünün bir uygulamasıdır.
Ancak bu özdeşliği bilmeden de çözebiliriz. Parantez kareleri açalım:
İlk parantez: (ac-bd)² = a²c² - 2acbd + b²d²
İkinci parantez: (ad+bc)² = a²d² + 2adbc + b²c²
Bu iki ifadeyi toplayalım. -2acbd ve +2adbc terimleri birbirini götürür.
a²c² + b²d² + a²d² + b²c²
İfadeyi ortak parantezlere alalım:
a²(c² + d²) + b²(d² + c²)
Şimdi (c²+d²) ortak parantezine alalım:
(a² + b²)(c² + d²)
Soruda verilen değerleri yerine yazarsak:
(1) * (1) = 1.
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 16
ifadesinin karekökü aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu tür sorularda, terimleri doğru şekilde gruplayarak çarpmak gerekir. Toplamları eşit olan terimleri seçeriz.
(1+7) = 8 ve (3+5) = 8. O halde 1. ile 4. ve 2. ile 3. terimleri çarpalım.
[(x+1)(x+7)] * [(x+3)(x+5)] + 16
[x² + 8x + 7] * [x² + 8x + 15] + 16
Değişken değiştirelim. a = x² + 8x diyelim.
(a+7)(a+15) + 16
a² + 22a + 105 + 16
a² + 22a + 121
Bu ifade (a+11)²'nin açılımıdır.
Şimdi 'a' yerine tekrar x²+8x yazalım:
(x² + 8x + 11)²
Bu ifadenin karekökü ise √(x² + 8x + 11)² = |x²+8x+11| olur.
x pozitif tam sayı olduğu için x²+8x+11 de pozitif olacaktır.
Sonuç: x² + 8x + 11.
Harika İş!
Çarpanlara Ayırma konusunun altıncı ve zorlayıcı testini başarıyla tamamladınız.
Bu konudaki ustalığınızı kanıtladınız. Yeni konulara geçmeye hazırsınız!
Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 6
Çözüm:
Bu ifadeyi iki küp toplamı olarak düşünebiliriz: (x²)³ + 1³.
Küp toplamı özdeşliği: a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²).
Burada a = x² ve b = 1'dir.
(x² + 1)((x²)² - (x²)(1) + 1²)
= (x² + 1)(x⁴ - x² + 1).
Bu sonuç B seçeneğinde verilmiştir. C seçeneği ise x⁶-1'in açılımıdır.
Çözüm:
İfadeyi doğru gruplandırmak önemlidir. Son üç terim bir tam karenin negatifidir.
x² - (y² - 6y + 9)
Parantez içindeki ifade (y-3)²'nin açılımıdır.
x² - (y-3)²
Şimdi ifade iki kare farkı (a²-b²) haline geldi. a=x, b=(y-3).
[x - (y-3)][x + (y-3)]
= (x - y + 3)(x + y - 3)
Çarpanlardan biri (x-y+3)'tür ve A seçeneğinde verilmiştir.
a² + 4b² + 2a - 12b + 10 = 0
olduğuna göre, a·b çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Bu ifadeyi tam kare ifadeler toplamı şeklinde yazmalıyız. İki veya daha fazla tam kare ifadenin toplamı sıfır ise, her bir ifade ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır.
İfadeyi düzenleyelim:
(a² + 2a) + (4b² - 12b) + 10 = 0
İlk parantezi (a+1)² yapmak için 1 eklemeliyiz. İkinci parantezi (2b-3)² yapmak için 9 eklemeliyiz. 1+9=10, sondaki sabite eşittir.
(a² + 2a + 1) + (4b² - 12b + 9) = 0
(a+1)² + (2b-3)² = 0
Bu durumda, a+1=0 ve 2b-3=0 olmalıdır.
a = -1
2b = 3 => b = 3/2
a·b = (-1) * (3/2) = -3/2.
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm:
Paydaki ifadeyi iki küp toplamı olarak açalım: a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²).
x³ + 27 = x³ + 3³ = (x+3)(x² - 3x + 9).
Şimdi ifadeyi yeniden yazalım:
[(x+3)(x² - 3x + 9)] / (x² - 3x + 9) = 1
Paydadaki (x²-3x+9) ifadesi sıfır olamaz (Diskriminantı negatiftir), bu yüzden sadeleştirme yapabiliriz.
x + 3 = 1
x = 1 - 3
x = -2.
Çözüm:
Verilen denklemi, istenen ifadeye benzer bir yapıya getirmek için her terimi 'x'e bölelim.
x²/x + 5x/x - 3/x = 0/x
x + 5 - 3/x = 0
x - 3/x = -5
Şimdi bu ifadenin karesini alarak istenen ifadeyi elde edebiliriz:
(x - 3/x)² = (-5)²
x² - 2·x·(3/x) + (3/x)² = 25
x² - 6 + 9/x² = 25
x² + 9/x² = 25 + 6 = 31.
denkleminin gerçel köklerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
Değişken değiştirme yöntemini kullanalım. a = x² - x diyelim.
Denklem (a-3)(a+5) = 9 haline gelir.
a² + 2a - 15 = 9
a² + 2a - 24 = 0
Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: (a+6)(a-4) = 0.
Buradan a=-6 veya a=4 bulunur.
Şimdi 'a' yerine x²-x yazarak iki ayrı denklem çözelim.
1. Durum: x² - x = -6 => x² - x + 6 = 0.
Bu denklemin diskriminantı (Δ = b²-4ac) = (-1)² - 4(1)(6) = 1 - 24 = -23.
Δ < 0 olduğu için bu denklemden gerçel kök gelmez.
2. Durum: x² - x = 4 => x² - x - 4 = 0.
Bu denklemin diskriminantı (Δ = b²-4ac) = (-1)² - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17.
Δ > 0 olduğu için bu denklemin iki farklı gerçel kökü vardır.
Denklemin kökler toplamı -b/a formülü ile bulunur.
Kökler toplamı = -(-1)/1 = 1.
(ac-bd)² + (ad+bc)² ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Brahmagupta-Fibonacci özdeşliği olarak da bilinen (a²+b²)(c²+d²) = (ac-bd)² + (ad+bc)² formülünün bir uygulamasıdır.
Ancak bu özdeşliği bilmeden de çözebiliriz. Parantez kareleri açalım:
İlk parantez: (ac-bd)² = a²c² - 2acbd + b²d²
İkinci parantez: (ad+bc)² = a²d² + 2adbc + b²c²
Bu iki ifadeyi toplayalım. -2acbd ve +2adbc terimleri birbirini götürür.
a²c² + b²d² + a²d² + b²c²
İfadeyi ortak parantezlere alalım:
a²(c² + d²) + b²(d² + c²)
Şimdi (c²+d²) ortak parantezine alalım:
(a² + b²)(c² + d²)
Soruda verilen değerleri yerine yazarsak:
(1) * (1) = 1.
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 16
ifadesinin karekökü aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu tür sorularda, terimleri doğru şekilde gruplayarak çarpmak gerekir. Toplamları eşit olan terimleri seçeriz.
(1+7) = 8 ve (3+5) = 8. O halde 1. ile 4. ve 2. ile 3. terimleri çarpalım.
[(x+1)(x+7)] * [(x+3)(x+5)] + 16
[x² + 8x + 7] * [x² + 8x + 15] + 16
Değişken değiştirelim. a = x² + 8x diyelim.
(a+7)(a+15) + 16
a² + 22a + 105 + 16
a² + 22a + 121
Bu ifade (a+11)²'nin açılımıdır.
Şimdi 'a' yerine tekrar x²+8x yazalım:
(x² + 8x + 11)²
Bu ifadenin karekökü ise √(x² + 8x + 11)² = |x²+8x+11| olur.
x pozitif tam sayı olduğu için x²+8x+11 de pozitif olacaktır.
Sonuç: x² + 8x + 11.
Harika İş!
Çarpanlara Ayırma konusunun altıncı ve zorlayıcı testini başarıyla tamamladınız.
Bu konudaki ustalığınızı kanıtladınız. Yeni konulara geçmeye hazırsınız!