Denklemler - İnteraktif Test 4
Çözüm:
Kalem fiyatına 'k', silgi fiyatına 's' diyelim.
1. Denklem: 2k + 3s = 19
2. Denklem: 3k + 2s = 21
Bu tür sorularda istenen ifadeye (k+s) ulaşmak için denklemleri taraf tarafa toplamak genellikle işe yarar.
(2k + 3s) + (3k + 2s) = 19 + 21
5k + 5s = 40
5(k + s) = 40
Her iki tarafı 5'e bölersek:
k + s = 8.
Bir kalem ve bir silginin toplam fiyatı 8 TL'dir.
Çözüm:
Başlangıçtaki yolcu sayısına 'x' diyelim.
1. durakta inenler: x/3
Kalan yolcular: x - x/3 = 2x/3
2. durakta inenler, kalanın (2x/3'ün) yarısıdır: (2x/3) * (1/2) = x/3
Otobüste son kalan yolcu sayısı: (Kalan yolcular) - (2. durakta inenler)
2x/3 - x/3 = 15
x/3 = 15 => x = 45.
Başlangıçta 45 yolcu vardı.
Çözüm:
Bir denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için 0x = c (c≠0) şeklinde bir eşitlik oluşmalıdır. Bunun için x'in katsayıları birbirine eşit, fakat sabit terimler birbirinden farklı olmalıdır.
Denklem: (a-4)x + 6 = 2x + 3a
x'in katsayılarını eşitleyelim:
a - 4 = 2 => a = 6.
Şimdi bulduğumuz a=6 değeri için sabit terimlerin farklı olup olmadığını kontrol edelim:
6 ≠ 3a
6 ≠ 3(6) => 6 ≠ 18.
Eşitlik sağlanmadığı için koşulumuz doğrudur. Dolayısıyla a=6'dır.
Çözüm:
Babanın şimdiki yaşına 'b', oğlunun şimdiki yaşına 'o' diyelim.
Şimdiki yaşları toplamı: b + o = 50. Buradan b = 50 - o.
5 yıl önce babanın yaşı: b - 5
5 yıl önce oğlunun yaşı: o - 5
5 yıl önceki denklem: b - 5 = 4 * (o - 5)
b - 5 = 4o - 20
İlk denklemdeki 'b' değerini (50-o) burada yerine yazalım:
(50 - o) - 5 = 4o - 20
45 - o = 4o - 20
45 + 20 = 4o + o
65 = 5o => o = 13 (Oğlunun şimdiki yaşı).
Babanın şimdiki yaşı b = 50 - o = 50 - 13 = 37.
Çözüm:
Denklemde paydası aynı olan terimleri bir araya getirelim.
x/(x-2) - 2/(x-2) = 1
(x-2)/(x-2) = 1
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yaparken paydanın sıfır olamayacağı koşulunu (x-2 ≠ 0 => x ≠ 2) unutmamalıyız.
Sadeleştirme sonrası 1 = 1 eşitliği kalır.
Bu eşitlik x=2 değeri hariç tüm gerçek sayılar için doğrudur. Fakat denklemin kendisi x=2 için tanımsız olduğundan, denklemi sağlayan hiçbir x değeri yoktur.
Dolayısıyla çözüm kümesi boş kümedir.
Çözüm:
İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş üzerinden denklem kurulur.
Ahmet 1 günde işin 1/12'sini yapar.
Mehmet 1 günde işin 1/24'ünü yapar.
İkisi birlikte 1 günde işin (1/12 + 1/24)'ünü yaparlar.
Payda eşitleyelim: (2/24 + 1/24) = 3/24 = 1/8.
İkisi birlikte 1 günde işin 1/8'ini yapıyorsa, işin tamamını (8/8'ini) 8 günde bitirirler.
Formül: 1/t = 1/t₁ + 1/t₂ => 1/t = 1/12 + 1/24 => 1/t = 3/24 => 3t = 24 => t = 8.
Çözüm:
Mutlak değerli denklemler iki durumda incelenir. Ayrıca mutlak değerin sonucu negatif olamayacağından 2x - 7 ≥ 0 yani x ≥ 3.5 olmalıdır.
1. Durum: x - 5 ≥ 0 ise, |x - 5| = x - 5 olarak çıkar.
x - 5 = 2x - 7
7 - 5 = 2x - x => x = 2.
Ancak bulduğumuz x=2 değeri en baştaki x ≥ 3.5 koşulunu sağlamadığı için bu bir çözüm değildir. (Yalancı kök)
2. Durum: x - 5 < 0 ise, |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5 olarak çıkar.
-x + 5 = 2x - 7
5 + 7 = 2x + x
12 = 3x => x = 4.
Bulduğumuz x=4 değeri en baştaki x ≥ 3.5 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
Bu nedenle tek çözüm x = 4'tür.
Çözüm:
Bu bir yerine koyma metoduyla çözülebilecek denklem sistemidir.
İkinci denklemde a'nın eşiti olan b+7 ifadesini, birinci denklemdeki a'nın yerine yazalım.
a = 3b - 5
(b + 7) = 3b - 5
7 + 5 = 3b - b
12 = 2b => b = 6.
b'nin değerini ikinci denklemde yerine yazarak a'yı bulalım.
a = b + 7 => a = 6 + 7 = 13.
Bizden istenen a+b toplamıdır.
a + b = 13 + 6 = 19.
Çözüm:
En içteki parantezden başlayarak denklemi açalım.
3 - 2[4 - x + 1] = 5
Köşeli parantezin içini sadeleştirelim:
3 - 2[5 - x] = 5
Şimdi -2'yi köşeli parantezin içine dağıtalım:
3 - 10 + 2x = 5
-7 + 2x = 5
2x = 5 + 7
2x = 12
x = 6.
Çözüm:
Ürünün maliyetine 100x diyelim.
%20 kârlı satış fiyatı: 100x + (100x * 20/100) = 120x.
Bu kârlı satış fiyatı (120x) üzerinden %10 indirim yapılıyor.
İndirim miktarı: 120x * (10/100) = 12x.
İndirimli satış fiyatı: 120x - 12x = 108x.
Bu indirimli satış fiyatının 108 TL olduğu verilmiş.
108x = 108 => x = 1.
Ürünün maliyeti 100x idi.
Maliyet = 100 * 1 = 100 TL.
Çözüm:
Oran-orantı özelliğinden faydalanalım.
a/b = 2/3 ise, a = 2k ve b = 3k yazabiliriz. (k bir orantı sabitidir)
Bu değerleri a + b = 30 denkleminde yerine koyalım:
2k + 3k = 30
5k = 30
k = 6.
Bizden 'a' değeri isteniyor. a = 2k idi.
a = 2 * 6 = 12.
Çözüm:
İki basamaklı 'ab' sayısının çözümlenmiş hali 10a + b'dir.
Rakamları toplamı ise a + b'dir.
Verilen bilgiye göre denklemi kuralım:
10a + b = 4 * (a + b)
Parantezi dağıtalım:
10a + b = 4a + 4b
Bilinmeyenleri aynı tarafta toplayalım:
10a - 4a = 4b - b
6a = 3b
Her iki tarafı 3'e bölersek: 2a = b.
Bu, b rakamının a rakamının 2 katı olduğunu gösterir. a ve b'nin rakam olduğunu unutmayalım.
a=1 için b=2 => Sayı 12.
a=2 için b=4 => Sayı 24.
a=3 için b=6 => Sayı 36.
a=4 için b=8 => Sayı 48.
a=5 için b=10 olamaz, çünkü b bir rakamdır.
Bu koşulu sağlayan sayılar 12, 24, 36 ve 48'dir. Soru bunların en büyüğünü istediği için cevap 48'dir.
Çok İyi Gidiyorsun!
Denklemler konusunun dördüncü testini başarıyla tamamladınız.
Problem çözme yeteneğinizi ve farklı soru tiplerine olan hakimiyetinizi artırdınız. Seriye devam!
Denklemler - İnteraktif Test 4
Çözüm:
Kalem fiyatına 'k', silgi fiyatına 's' diyelim.
1. Denklem: 2k + 3s = 19
2. Denklem: 3k + 2s = 21
Bu tür sorularda istenen ifadeye (k+s) ulaşmak için denklemleri taraf tarafa toplamak genellikle işe yarar.
(2k + 3s) + (3k + 2s) = 19 + 21
5k + 5s = 40
5(k + s) = 40
Her iki tarafı 5'e bölersek:
k + s = 8.
Bir kalem ve bir silginin toplam fiyatı 8 TL'dir.
Çözüm:
Başlangıçtaki yolcu sayısına 'x' diyelim.
1. durakta inenler: x/3
Kalan yolcular: x - x/3 = 2x/3
2. durakta inenler, kalanın (2x/3'ün) yarısıdır: (2x/3) * (1/2) = x/3
Otobüste son kalan yolcu sayısı: (Kalan yolcular) - (2. durakta inenler)
2x/3 - x/3 = 15
x/3 = 15 => x = 45.
Başlangıçta 45 yolcu vardı.
Çözüm:
Bir denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için 0x = c (c≠0) şeklinde bir eşitlik oluşmalıdır. Bunun için x'in katsayıları birbirine eşit, fakat sabit terimler birbirinden farklı olmalıdır.
Denklem: (a-4)x + 6 = 2x + 3a
x'in katsayılarını eşitleyelim:
a - 4 = 2 => a = 6.
Şimdi bulduğumuz a=6 değeri için sabit terimlerin farklı olup olmadığını kontrol edelim:
6 ≠ 3a
6 ≠ 3(6) => 6 ≠ 18.
Eşitlik sağlanmadığı için koşulumuz doğrudur. Dolayısıyla a=6'dır.
Çözüm:
Babanın şimdiki yaşına 'b', oğlunun şimdiki yaşına 'o' diyelim.
Şimdiki yaşları toplamı: b + o = 50. Buradan b = 50 - o.
5 yıl önce babanın yaşı: b - 5
5 yıl önce oğlunun yaşı: o - 5
5 yıl önceki denklem: b - 5 = 4 * (o - 5)
b - 5 = 4o - 20
İlk denklemdeki 'b' değerini (50-o) burada yerine yazalım:
(50 - o) - 5 = 4o - 20
45 - o = 4o - 20
45 + 20 = 4o + o
65 = 5o => o = 13 (Oğlunun şimdiki yaşı).
Babanın şimdiki yaşı b = 50 - o = 50 - 13 = 37.
Çözüm:
Denklemde paydası aynı olan terimleri bir araya getirelim.
x/(x-2) - 2/(x-2) = 1
(x-2)/(x-2) = 1
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yaparken paydanın sıfır olamayacağı koşulunu (x-2 ≠ 0 => x ≠ 2) unutmamalıyız.
Sadeleştirme sonrası 1 = 1 eşitliği kalır.
Bu eşitlik x=2 değeri hariç tüm gerçek sayılar için doğrudur. Fakat denklemin kendisi x=2 için tanımsız olduğundan, denklemi sağlayan hiçbir x değeri yoktur.
Dolayısıyla çözüm kümesi boş kümedir.
Çözüm:
İşçi problemlerinde birim zamanda yapılan iş üzerinden denklem kurulur.
Ahmet 1 günde işin 1/12'sini yapar.
Mehmet 1 günde işin 1/24'ünü yapar.
İkisi birlikte 1 günde işin (1/12 + 1/24)'ünü yaparlar.
Payda eşitleyelim: (2/24 + 1/24) = 3/24 = 1/8.
İkisi birlikte 1 günde işin 1/8'ini yapıyorsa, işin tamamını (8/8'ini) 8 günde bitirirler.
Formül: 1/t = 1/t₁ + 1/t₂ => 1/t = 1/12 + 1/24 => 1/t = 3/24 => 3t = 24 => t = 8.
Çözüm:
Mutlak değerli denklemler iki durumda incelenir. Ayrıca mutlak değerin sonucu negatif olamayacağından 2x - 7 ≥ 0 yani x ≥ 3.5 olmalıdır.
1. Durum: x - 5 ≥ 0 ise, |x - 5| = x - 5 olarak çıkar.
x - 5 = 2x - 7
7 - 5 = 2x - x => x = 2.
Ancak bulduğumuz x=2 değeri en baştaki x ≥ 3.5 koşulunu sağlamadığı için bu bir çözüm değildir. (Yalancı kök)
2. Durum: x - 5 < 0 ise, |x - 5| = -(x - 5) = -x + 5 olarak çıkar.
-x + 5 = 2x - 7
5 + 7 = 2x + x
12 = 3x => x = 4.
Bulduğumuz x=4 değeri en baştaki x ≥ 3.5 koşulunu sağladığı için geçerli bir çözümdür.
Bu nedenle tek çözüm x = 4'tür.
Çözüm:
Bu bir yerine koyma metoduyla çözülebilecek denklem sistemidir.
İkinci denklemde a'nın eşiti olan b+7 ifadesini, birinci denklemdeki a'nın yerine yazalım.
a = 3b - 5
(b + 7) = 3b - 5
7 + 5 = 3b - b
12 = 2b => b = 6.
b'nin değerini ikinci denklemde yerine yazarak a'yı bulalım.
a = b + 7 => a = 6 + 7 = 13.
Bizden istenen a+b toplamıdır.
a + b = 13 + 6 = 19.
Çözüm:
En içteki parantezden başlayarak denklemi açalım.
3 - 2[4 - x + 1] = 5
Köşeli parantezin içini sadeleştirelim:
3 - 2[5 - x] = 5
Şimdi -2'yi köşeli parantezin içine dağıtalım:
3 - 10 + 2x = 5
-7 + 2x = 5
2x = 5 + 7
2x = 12
x = 6.
Çözüm:
Ürünün maliyetine 100x diyelim.
%20 kârlı satış fiyatı: 100x + (100x * 20/100) = 120x.
Bu kârlı satış fiyatı (120x) üzerinden %10 indirim yapılıyor.
İndirim miktarı: 120x * (10/100) = 12x.
İndirimli satış fiyatı: 120x - 12x = 108x.
Bu indirimli satış fiyatının 108 TL olduğu verilmiş.
108x = 108 => x = 1.
Ürünün maliyeti 100x idi.
Maliyet = 100 * 1 = 100 TL.
Çözüm:
Oran-orantı özelliğinden faydalanalım.
a/b = 2/3 ise, a = 2k ve b = 3k yazabiliriz. (k bir orantı sabitidir)
Bu değerleri a + b = 30 denkleminde yerine koyalım:
2k + 3k = 30
5k = 30
k = 6.
Bizden 'a' değeri isteniyor. a = 2k idi.
a = 2 * 6 = 12.
Çözüm:
İki basamaklı 'ab' sayısının çözümlenmiş hali 10a + b'dir.
Rakamları toplamı ise a + b'dir.
Verilen bilgiye göre denklemi kuralım:
10a + b = 4 * (a + b)
Parantezi dağıtalım:
10a + b = 4a + 4b
Bilinmeyenleri aynı tarafta toplayalım:
10a - 4a = 4b - b
6a = 3b
Her iki tarafı 3'e bölersek: 2a = b.
Bu, b rakamının a rakamının 2 katı olduğunu gösterir. a ve b'nin rakam olduğunu unutmayalım.
a=1 için b=2 => Sayı 12.
a=2 için b=4 => Sayı 24.
a=3 için b=6 => Sayı 36.
a=4 için b=8 => Sayı 48.
a=5 için b=10 olamaz, çünkü b bir rakamdır.
Bu koşulu sağlayan sayılar 12, 24, 36 ve 48'dir. Soru bunların en büyüğünü istediği için cevap 48'dir.
Çok İyi Gidiyorsun!
Denklemler konusunun dördüncü testini başarıyla tamamladınız.
Problem çözme yeteneğinizi ve farklı soru tiplerine olan hakimiyetinizi artırdınız. Seriye devam!