Denklemler - İnteraktif Test 5
Çözüm:
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım: x² - y² = (x - y)(x + y).
(x - y)(x + y) = 17
17 bir asal sayıdır. Bu demektir ki çarpanları sadece 1 ve 17'dir.
x ve y pozitif tam sayılar olduğu için, x+y toplamı pozitif ve x-y farkından daha büyük olmalıdır.
Dolayısıyla:
x - y = 1
x + y = 17
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 18 => x = 9.
x + y = 17 denkleminde x'i yerine yazarsak: 9 + y = 17 => y = 8.
Bizden istenen ifade: 2x + y = 2(9) + 8 = 18 + 8 = 26.
Çözüm:
Toplam para miktarına 'P', kişi başına düşen ilk paya 'x' diyelim.
İlk durum: P = 8x
İkinci durumda 2 kişi ayrılınca 6 kişi kalır ve her birinin payı x+10 olur.
İkinci durum: P = 6(x + 10)
Her iki denklem de aynı P değerine eşit olduğu için birbirine eşitleyebiliriz:
8x = 6(x + 10)
8x = 6x + 60
2x = 60 => x = 30 TL (İlk durumda kişi başı düşen pay).
Toplam para P = 8x = 8 * 30 = 240 TL'dir.
Çözüm:
Oranların özelliğini kullanarak ifadeleri ayıralım.
İlk parantez: (a+b)/b = a/b + b/b. a/b'nin 3 olduğunu biliyoruz. O halde 3 + 1 = 4.
İkinci parantez: (c-d)/d = c/d - d/d. c/d'nin 3 olduğunu biliyoruz. O halde 3 - 1 = 2.
Şimdi bu iki sonucun çarpımını bulalım:
4 * 2 = 8.
Çözüm:
Bu tür sorularda değişmeyen madde miktarı (tuz) üzerinden denklem kurmak en kolay yoldur.
Başlangıçtaki tuz miktarı = Karışım * Tuz Yüzdesi = 40 * (20/100) = 8 litre.
Buharlaştırılan su miktarına 'x' diyelim. Yeni karışımın toplam miktarı 40 - x olur.
Su buharlaştırıldığı için tuz miktarı değişmez, yine 8 litredir.
Yeni durumdaki denklem: (Tuz Miktarı) / (Yeni Karışım Miktarı) = Yeni Yüzde
8 / (40 - x) = 25 / 100 = 1/4
İçler dışlar çarpımı yapalım:
8 * 4 = 1 * (40 - x)
32 = 40 - x => x = 8 litre.
Çözüm:
Birimleri birbirine dönüştürerek işe başlayalım. Hız km/saat, uzunluk metre ve zaman saniye. Hızı m/s'ye çevirelim.
Hız (V) = 90 km/saat = 90 * (1000 m / 3600 s) = 90000 / 3600 = 25 m/s.
Trenin bir tüneli tamamen geçmesi için alması gereken toplam yol, tünelin boyu ile kendi boyunun toplamıdır.
Trenin boyuna 'x' diyelim.
Alınan Toplam Yol = Tünel Boyu + Tren Boyu = 300 + x.
Yol = Hız * Zaman formülünü kullanalım:
300 + x = 25 m/s * 18 s
300 + x = 450
x = 150 metre.
Çözüm:
Rasyonel denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapılır. (x ≠ -2 koşulunu unutmayalım).
3x + 1 = 2 * (x + 2)
Parantezi dağıtalım:
3x + 1 = 2x + 4
x'li terimleri sola, sabit sayıları sağa toplayalım:
3x - 2x = 4 - 1
x = 3.
Bulduğumuz değer paydayı sıfır yapmadığı için geçerli bir çözümdür.
Çözüm:
Değişkenleri, en mantıklı olan üzerinden verelim. Sarı bilyeler hem 2'nin hem de 3'ün katı olduğu için Sarı bilye sayısına 6x diyelim.
Sarı (S) = 6x
Sarılar, kırmızıların 2 katı ise: 6x = 2 * Kırmızı => Kırmızı (K) = 3x
Sarılar, mavilerin 3 katı ise: 6x = 3 * Mavi => Mavi (M) = 2x
Toplam bilye sayısı: S + K + M = 55
6x + 3x + 2x = 55
11x = 55 => x = 5.
Kırmızı bilye sayısı soruluyor: K = 3x = 3 * 5 = 15.
Çözüm:
Denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için x'in katsayısının sıfırdan farklı olması gerekir. Eğer x'in katsayısı sıfır olursa, çözüm kümesi ya boş küme ya da tüm reel sayılar olur.
Önce denklemi düzenleyelim:
ax + 12 = 3x + 6a
x'li terimleri sola, sabitleri sağa toplayalım:
ax - 3x = 6a - 12
x(a - 3) = 6a - 12
Çözümün tek elemanlı olması için x'in katsayısı sıfır olmamalıdır:
a - 3 ≠ 0
a ≠ 3.
Dolayısıyla a, 3 değerini alamaz.
Çözüm:
Yok etme metodunu kullanmak için ikinci denklemi 2 ile çarpalım.
2 * (2a - b = 6) => 4a - 2b = 12
Şimdi bu yeni denklemi ilk denklemle taraf tarafa toplayalım:
3a + 2b = 16
+ 4a - 2b = 12
-----------------
7a = 28 => a = 4.
Bulduğumuz a değerini ikinci denklemde yerine yazalım:
2(4) - b = 6
8 - b = 6 => b = 2.
Bizden istenen a*b çarpımıdır: 4 * 2 = 8.
Çözüm:
Kesirlerin paydaları 4 ve 3 olduğu için, başlangıçtaki mal sayısına ikisinin çarpımı olan 12x diyelim.
Başlangıç: 12x
İlk satış: 12x * (1/4) = 3x.
Kalan mal: 12x - 3x = 9x.
İkinci satış (kalanın 1/3'ü): 9x * (1/3) = 3x.
En son kalan mal: 9x - 3x = 6x.
Geriye 24 adet mal kaldığı bilgisi verilmiş:
6x = 24 => x = 4.
Başlangıçtaki mal sayısı 12x idi:
12 * 4 = 48 adet.
Çözüm:
Sol tarafta payda eşitleyerek başlayalım.
[1 + 1*(x-2)] / (x-2) = 6/x
(1 + x - 2) / (x-2) = 6/x
(x - 1) / (x - 2) = 6/x
İçler dışlar çarpımı yapalım:
x(x - 1) = 6(x - 2)
x² - x = 6x - 12
Tüm terimleri sola toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
x² - x - 6x + 12 = 0
x² - 7x + 12 = 0
Bu denklemin kökler toplamı -b/a formülüyle bulunur.
Kökler Toplamı = -(-7) / 1 = 7.
(Kontrol için çarpanlarına ayırırsak: (x-3)(x-4)=0, kökler 3 ve 4'tür. Toplamları 7'dir.)
Çözüm:
Merdivenin basamak sayısına B diyelim. B sayısı hem 2'ye hem de 3'e tam bölünmelidir.
Çıkarken atılan adım sayısı: B/2
İnerken atılan adım sayısı: B/3
Toplam adım sayısı 50 olarak verilmiş:
B/2 + B/3 = 50
Paydaları eşitleyelim (3 ve 2 ile genişleterek):
3B/6 + 2B/6 = 50
5B/6 = 50
5B = 300
B = 60.
Merdiven 60 basamaklıdır.
Ustalık Seviyesi!
Denklemler konusunun beşinci ve zorlu testini başarıyla tamamladınız.
Karmaşık problemleri analiz etme ve çözme konusunda önemli bir yetkinlik kazandınız. Matematik serüveninizde yeni konulara yelken açmaya hazırsınız!
Denklemler - İnteraktif Test 5
Çözüm:
İki kare farkı özdeşliğini kullanalım: x² - y² = (x - y)(x + y).
(x - y)(x + y) = 17
17 bir asal sayıdır. Bu demektir ki çarpanları sadece 1 ve 17'dir.
x ve y pozitif tam sayılar olduğu için, x+y toplamı pozitif ve x-y farkından daha büyük olmalıdır.
Dolayısıyla:
x - y = 1
x + y = 17
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2x = 18 => x = 9.
x + y = 17 denkleminde x'i yerine yazarsak: 9 + y = 17 => y = 8.
Bizden istenen ifade: 2x + y = 2(9) + 8 = 18 + 8 = 26.
Çözüm:
Toplam para miktarına 'P', kişi başına düşen ilk paya 'x' diyelim.
İlk durum: P = 8x
İkinci durumda 2 kişi ayrılınca 6 kişi kalır ve her birinin payı x+10 olur.
İkinci durum: P = 6(x + 10)
Her iki denklem de aynı P değerine eşit olduğu için birbirine eşitleyebiliriz:
8x = 6(x + 10)
8x = 6x + 60
2x = 60 => x = 30 TL (İlk durumda kişi başı düşen pay).
Toplam para P = 8x = 8 * 30 = 240 TL'dir.
Çözüm:
Oranların özelliğini kullanarak ifadeleri ayıralım.
İlk parantez: (a+b)/b = a/b + b/b. a/b'nin 3 olduğunu biliyoruz. O halde 3 + 1 = 4.
İkinci parantez: (c-d)/d = c/d - d/d. c/d'nin 3 olduğunu biliyoruz. O halde 3 - 1 = 2.
Şimdi bu iki sonucun çarpımını bulalım:
4 * 2 = 8.
Çözüm:
Bu tür sorularda değişmeyen madde miktarı (tuz) üzerinden denklem kurmak en kolay yoldur.
Başlangıçtaki tuz miktarı = Karışım * Tuz Yüzdesi = 40 * (20/100) = 8 litre.
Buharlaştırılan su miktarına 'x' diyelim. Yeni karışımın toplam miktarı 40 - x olur.
Su buharlaştırıldığı için tuz miktarı değişmez, yine 8 litredir.
Yeni durumdaki denklem: (Tuz Miktarı) / (Yeni Karışım Miktarı) = Yeni Yüzde
8 / (40 - x) = 25 / 100 = 1/4
İçler dışlar çarpımı yapalım:
8 * 4 = 1 * (40 - x)
32 = 40 - x => x = 8 litre.
Çözüm:
Birimleri birbirine dönüştürerek işe başlayalım. Hız km/saat, uzunluk metre ve zaman saniye. Hızı m/s'ye çevirelim.
Hız (V) = 90 km/saat = 90 * (1000 m / 3600 s) = 90000 / 3600 = 25 m/s.
Trenin bir tüneli tamamen geçmesi için alması gereken toplam yol, tünelin boyu ile kendi boyunun toplamıdır.
Trenin boyuna 'x' diyelim.
Alınan Toplam Yol = Tünel Boyu + Tren Boyu = 300 + x.
Yol = Hız * Zaman formülünü kullanalım:
300 + x = 25 m/s * 18 s
300 + x = 450
x = 150 metre.
Çözüm:
Rasyonel denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapılır. (x ≠ -2 koşulunu unutmayalım).
3x + 1 = 2 * (x + 2)
Parantezi dağıtalım:
3x + 1 = 2x + 4
x'li terimleri sola, sabit sayıları sağa toplayalım:
3x - 2x = 4 - 1
x = 3.
Bulduğumuz değer paydayı sıfır yapmadığı için geçerli bir çözümdür.
Çözüm:
Değişkenleri, en mantıklı olan üzerinden verelim. Sarı bilyeler hem 2'nin hem de 3'ün katı olduğu için Sarı bilye sayısına 6x diyelim.
Sarı (S) = 6x
Sarılar, kırmızıların 2 katı ise: 6x = 2 * Kırmızı => Kırmızı (K) = 3x
Sarılar, mavilerin 3 katı ise: 6x = 3 * Mavi => Mavi (M) = 2x
Toplam bilye sayısı: S + K + M = 55
6x + 3x + 2x = 55
11x = 55 => x = 5.
Kırmızı bilye sayısı soruluyor: K = 3x = 3 * 5 = 15.
Çözüm:
Denklemin çözüm kümesinin tek elemanlı olması için x'in katsayısının sıfırdan farklı olması gerekir. Eğer x'in katsayısı sıfır olursa, çözüm kümesi ya boş küme ya da tüm reel sayılar olur.
Önce denklemi düzenleyelim:
ax + 12 = 3x + 6a
x'li terimleri sola, sabitleri sağa toplayalım:
ax - 3x = 6a - 12
x(a - 3) = 6a - 12
Çözümün tek elemanlı olması için x'in katsayısı sıfır olmamalıdır:
a - 3 ≠ 0
a ≠ 3.
Dolayısıyla a, 3 değerini alamaz.
Çözüm:
Yok etme metodunu kullanmak için ikinci denklemi 2 ile çarpalım.
2 * (2a - b = 6) => 4a - 2b = 12
Şimdi bu yeni denklemi ilk denklemle taraf tarafa toplayalım:
3a + 2b = 16
+ 4a - 2b = 12
-----------------
7a = 28 => a = 4.
Bulduğumuz a değerini ikinci denklemde yerine yazalım:
2(4) - b = 6
8 - b = 6 => b = 2.
Bizden istenen a*b çarpımıdır: 4 * 2 = 8.
Çözüm:
Kesirlerin paydaları 4 ve 3 olduğu için, başlangıçtaki mal sayısına ikisinin çarpımı olan 12x diyelim.
Başlangıç: 12x
İlk satış: 12x * (1/4) = 3x.
Kalan mal: 12x - 3x = 9x.
İkinci satış (kalanın 1/3'ü): 9x * (1/3) = 3x.
En son kalan mal: 9x - 3x = 6x.
Geriye 24 adet mal kaldığı bilgisi verilmiş:
6x = 24 => x = 4.
Başlangıçtaki mal sayısı 12x idi:
12 * 4 = 48 adet.
Çözüm:
Sol tarafta payda eşitleyerek başlayalım.
[1 + 1*(x-2)] / (x-2) = 6/x
(1 + x - 2) / (x-2) = 6/x
(x - 1) / (x - 2) = 6/x
İçler dışlar çarpımı yapalım:
x(x - 1) = 6(x - 2)
x² - x = 6x - 12
Tüm terimleri sola toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
x² - x - 6x + 12 = 0
x² - 7x + 12 = 0
Bu denklemin kökler toplamı -b/a formülüyle bulunur.
Kökler Toplamı = -(-7) / 1 = 7.
(Kontrol için çarpanlarına ayırırsak: (x-3)(x-4)=0, kökler 3 ve 4'tür. Toplamları 7'dir.)
Çözüm:
Merdivenin basamak sayısına B diyelim. B sayısı hem 2'ye hem de 3'e tam bölünmelidir.
Çıkarken atılan adım sayısı: B/2
İnerken atılan adım sayısı: B/3
Toplam adım sayısı 50 olarak verilmiş:
B/2 + B/3 = 50
Paydaları eşitleyelim (3 ve 2 ile genişleterek):
3B/6 + 2B/6 = 50
5B/6 = 50
5B = 300
B = 60.
Merdiven 60 basamaklıdır.
Ustalık Seviyesi!
Denklemler konusunun beşinci ve zorlu testini başarıyla tamamladınız.
Karmaşık problemleri analiz etme ve çözme konusunda önemli bir yetkinlik kazandınız. Matematik serüveninizde yeni konulara yelken açmaya hazırsınız!