Denklemler - İnteraktif Test 6
x * y = 24
y * z = 40
olduğuna göre, x + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Toplamın en küçük olması için, ortak çarpan olan 'y'nin en büyük seçilmesi gerekir.
'y' sayısı hem 24'ün hem de 40'ın ortak böleni olmalıdır.
24 ve 40'ın en büyük ortak böleni (EBOB) 8'dir.
y = 8 alırsak:
x * 8 = 24 => x = 3
8 * z = 40 => z = 5
x, y, z birbirinden farklı (3, 8, 5) ve pozitif tamsayılardır. Koşul sağlanıyor.
Toplamları: x + y + z = 3 + 8 + 5 = 16.
Çözüm:
Oran-orantı özelliğini kullanalım. Ali'nin parasına 3k, Veli'nin parasına 4k diyelim.
Veli 10 TL verince parası 4k - 10 olur.
Ali 10 TL alınca parası 3k + 10 olur.
Bu durumda paraları eşitleniyor:
4k - 10 = 3k + 10
4k - 3k = 10 + 10
k = 20.
Başlangıçta Veli'nin parası 4k idi:
Veli'nin parası = 4 * 20 = 80 TL.
Çözüm:
Her iki tarafın da mutlak değer olduğu denklemler iki durumda çözülür:
1. Durum: İfadeler birbirine eşittir.
2x - 1 = x + 5 => x₁ = 6.
2. Durum: Bir ifade diğerinin negatifine eşittir.
2x - 1 = -(x + 5)
2x - 1 = -x - 5
3x = -4 => x₂ = -4/3.
Bu iki x değerinin toplamı soruluyor:
6 + (-4/3) = 18/3 - 4/3 = 14/3.
Çözüm:
Sınıftaki sıra sayısına 'S' diyelim. Her iki durumda da öğrenci sayısı aynı olduğu için, öğrenci sayısını iki farklı şekilde yazıp birbirine eşitleyebiliriz.
1. Durum: İkişerli oturunca 5 öğrenci ayakta kalıyor.
Öğrenci Sayısı = 2 * S + 5
2. Durum: Üçerli oturunca 2 sıra boş kalıyor. Yani (S-2) tane sıra kullanılıyor.
Öğrenci Sayısı = 3 * (S - 2)
Şimdi iki denklemi eşitleyelim:
2S + 5 = 3(S - 2)
2S + 5 = 3S - 6
5 + 6 = 3S - 2S => S = 11 (Sıra sayısı).
Öğrenci sayısını bulmak için denklemlerden birini kullanalım:
Öğrenci Sayısı = 2S + 5 = 2(11) + 5 = 22 + 5 = 27.
Çözüm:
Köklü denklemlerde, köklü ifadeyi yalnız bıraktıktan sonra her iki tarafın karesi alınır.
(√(2x + 10))² = (x + 1)²
2x + 10 = x² + 2x + 1
Her iki taraftaki 2x terimleri birbirini götürür.
10 = x² + 1
9 = x² => x = 3 veya x = -3.
ÖNEMLİ: Köklü denklemlerde bulunan kök adayları mutlaka ana denklemde kontrol edilmelidir.
x = 3 için: √(2(3)+10) = 3+1 => √16 = 4 => 4=4. Bu bir çözümdür.
x = -3 için: √(2(-3)+10) = -3+1 => √4 = -2 => 2=-2. Bu bir çelişkidir, çözüm değildir (yalancı kök).
Dolayısıyla tek çözüm x=3'tür.
Çözüm:
Boş kovanın ağırlığına 'k', içindeki suyun tamamının ağırlığına 's' diyelim.
1. Denklem: k + s = A
2. Denklem: k + s/3 = B
İkinci denklemi 3 ile çarpalım: 3k + s = 3B.
İlk denklemden s = A - k ifadesini bulup bu yeni denklemde yerine yazalım.
3k + (A - k) = 3B
2k + A = 3B
2k = 3B - A
k = (3B - A) / 2.
1/x + y = 6
1/y + x = 3/2
olduğuna göre y/x oranı kaçtır?
Çözüm:
Denklemlerde payda eşitleyip düzenleyelim.
1. Denklem: (1 + xy) / x = 6 => 1 + xy = 6x
2. Denklem: (1 + xy) / y = 3/2 => 2(1 + xy) = 3y
Her iki denklemde de (1+xy) ifadesi ortaktır. İkinci denklemde (1+xy) yerine birinci denklemdeki eşiti olan 6x'i yazalım:
2(6x) = 3y
12x = 3y
y/x oranını bulmak için her tarafı 3x'e bölelim:
12x / 3x = 3y / 3x
4 = y/x.
Çözüm:
Orta noktanın kayma miktarı, her zaman kesilen parçanın uzunluğunun yarısıdır.
Kayma Miktarı = Kesilen Parça / 2
6 = Kesilen Parça / 2
Kesilen Parça = 12 cm.
Bu kesilen 12 cm'lik parça, telin tamamının 1/7'sine eşittir. Telin tamamına 'L' diyelim.
L * (1/7) = 12
L = 12 * 7 = 84 cm.
Çözüm:
İki oranda da ortak olan harf 'b'dir. Bu tür sorularda ortak harfin karşısındaki sayıları eşitlememiz gerekir.
İlk oranda b'nin karşısında 3, ikinci oranda ise 4 vardır.
3 ve 4'ün en küçük ortak katı 12'dir. Her iki oranı da b'nin değeri 12 olacak şekilde genişletelim.
İlk oranı 4 ile genişlet: a/b = (2*4)/(3*4) = 8/12. Buradan a=8k, b=12k.
İkinci oranı 3 ile genişlet: b/c = (4*3)/(5*3) = 12/15. Buradan b=12k, c=15k.
Sonuç olarak a, b ve c sırasıyla 8, 12 ve 15 ile orantılıdır.
Çözüm:
En içteki parantezden başlayarak denklemi adım adım açalım.
1 - [2 - 3 + x] = 2x - 5
Köşeli parantezin içini sadeleştirelim:
1 - [-1 + x] = 2x - 5
Şimdi köşeli parantezin önündeki eksiyi dağıtalım:
1 - (-1) - x = 2x - 5
1 + 1 - x = 2x - 5
2 - x = 2x - 5
Sabitleri sola, x'leri sağa toplayalım:
2 + 5 = 2x + x
7 = 3x => x = 7/3.
Çözüm:
A makinesi 1 saatte işin 1/10'unu yapar.
A makinesi 4 saatte işin 4 * (1/10) = 4/10 = 2/5'ini yapar.
İşin tamamı 1 (yani 5/5) olduğuna göre, geriye kalan iş:
1 - 2/5 = 3/5'idir.
B makinesi işin tamamını 15 saatte yapıyorsa, kalan 3/5'lik kısmı kaç saatte yapar?
Süre = İş Miktarı * Tamamını Bitirme Süresi = (3/5) * 15 = 45/5 = 9 saat.
B makinesi kalan işi 9 saatte bitirir.
Çözüm:
İki reel sayının kareleri toplamı sıfır ise, bu sayıların her biri ayrı ayrı sıfır olmak zorundadır. Çünkü negatif olmayan iki sayının toplamının sıfır olması ancak bu şekilde mümkündür.
1. Denklem: 2x - y - 7 = 0 => 2x - y = 7
2. Denklem: x + y - 5 = 0 => x + y = 5
Elde ettiğimiz bu iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa toplayalım:
(2x - y) + (x + y) = 7 + 5
3x = 12 => x = 4.
x + y = 5 denkleminde x'i yerine yazalım:
4 + y = 5 => y = 1.
Bizden istenen x*y çarpımıdır: 4 * 1 = 4.
Harika Performans!
Denklemler konusunun altıncı testini başarıyla tamamladınız.
Zorlayıcı problem türlerinde bile ne kadar yetkin olduğunuzu gösterdiniz. Matematik yolculuğunuzda zirveye yaklaşıyorsunuz!
Denklemler - İnteraktif Test 6
x * y = 24
y * z = 40
olduğuna göre, x + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Toplamın en küçük olması için, ortak çarpan olan 'y'nin en büyük seçilmesi gerekir.
'y' sayısı hem 24'ün hem de 40'ın ortak böleni olmalıdır.
24 ve 40'ın en büyük ortak böleni (EBOB) 8'dir.
y = 8 alırsak:
x * 8 = 24 => x = 3
8 * z = 40 => z = 5
x, y, z birbirinden farklı (3, 8, 5) ve pozitif tamsayılardır. Koşul sağlanıyor.
Toplamları: x + y + z = 3 + 8 + 5 = 16.
Çözüm:
Oran-orantı özelliğini kullanalım. Ali'nin parasına 3k, Veli'nin parasına 4k diyelim.
Veli 10 TL verince parası 4k - 10 olur.
Ali 10 TL alınca parası 3k + 10 olur.
Bu durumda paraları eşitleniyor:
4k - 10 = 3k + 10
4k - 3k = 10 + 10
k = 20.
Başlangıçta Veli'nin parası 4k idi:
Veli'nin parası = 4 * 20 = 80 TL.
Çözüm:
Her iki tarafın da mutlak değer olduğu denklemler iki durumda çözülür:
1. Durum: İfadeler birbirine eşittir.
2x - 1 = x + 5 => x₁ = 6.
2. Durum: Bir ifade diğerinin negatifine eşittir.
2x - 1 = -(x + 5)
2x - 1 = -x - 5
3x = -4 => x₂ = -4/3.
Bu iki x değerinin toplamı soruluyor:
6 + (-4/3) = 18/3 - 4/3 = 14/3.
Çözüm:
Sınıftaki sıra sayısına 'S' diyelim. Her iki durumda da öğrenci sayısı aynı olduğu için, öğrenci sayısını iki farklı şekilde yazıp birbirine eşitleyebiliriz.
1. Durum: İkişerli oturunca 5 öğrenci ayakta kalıyor.
Öğrenci Sayısı = 2 * S + 5
2. Durum: Üçerli oturunca 2 sıra boş kalıyor. Yani (S-2) tane sıra kullanılıyor.
Öğrenci Sayısı = 3 * (S - 2)
Şimdi iki denklemi eşitleyelim:
2S + 5 = 3(S - 2)
2S + 5 = 3S - 6
5 + 6 = 3S - 2S => S = 11 (Sıra sayısı).
Öğrenci sayısını bulmak için denklemlerden birini kullanalım:
Öğrenci Sayısı = 2S + 5 = 2(11) + 5 = 22 + 5 = 27.
Çözüm:
Köklü denklemlerde, köklü ifadeyi yalnız bıraktıktan sonra her iki tarafın karesi alınır.
(√(2x + 10))² = (x + 1)²
2x + 10 = x² + 2x + 1
Her iki taraftaki 2x terimleri birbirini götürür.
10 = x² + 1
9 = x² => x = 3 veya x = -3.
ÖNEMLİ: Köklü denklemlerde bulunan kök adayları mutlaka ana denklemde kontrol edilmelidir.
x = 3 için: √(2(3)+10) = 3+1 => √16 = 4 => 4=4. Bu bir çözümdür.
x = -3 için: √(2(-3)+10) = -3+1 => √4 = -2 => 2=-2. Bu bir çelişkidir, çözüm değildir (yalancı kök).
Dolayısıyla tek çözüm x=3'tür.
Çözüm:
Boş kovanın ağırlığına 'k', içindeki suyun tamamının ağırlığına 's' diyelim.
1. Denklem: k + s = A
2. Denklem: k + s/3 = B
İkinci denklemi 3 ile çarpalım: 3k + s = 3B.
İlk denklemden s = A - k ifadesini bulup bu yeni denklemde yerine yazalım.
3k + (A - k) = 3B
2k + A = 3B
2k = 3B - A
k = (3B - A) / 2.
1/x + y = 6
1/y + x = 3/2
olduğuna göre y/x oranı kaçtır?
Çözüm:
Denklemlerde payda eşitleyip düzenleyelim.
1. Denklem: (1 + xy) / x = 6 => 1 + xy = 6x
2. Denklem: (1 + xy) / y = 3/2 => 2(1 + xy) = 3y
Her iki denklemde de (1+xy) ifadesi ortaktır. İkinci denklemde (1+xy) yerine birinci denklemdeki eşiti olan 6x'i yazalım:
2(6x) = 3y
12x = 3y
y/x oranını bulmak için her tarafı 3x'e bölelim:
12x / 3x = 3y / 3x
4 = y/x.
Çözüm:
Orta noktanın kayma miktarı, her zaman kesilen parçanın uzunluğunun yarısıdır.
Kayma Miktarı = Kesilen Parça / 2
6 = Kesilen Parça / 2
Kesilen Parça = 12 cm.
Bu kesilen 12 cm'lik parça, telin tamamının 1/7'sine eşittir. Telin tamamına 'L' diyelim.
L * (1/7) = 12
L = 12 * 7 = 84 cm.
Çözüm:
İki oranda da ortak olan harf 'b'dir. Bu tür sorularda ortak harfin karşısındaki sayıları eşitlememiz gerekir.
İlk oranda b'nin karşısında 3, ikinci oranda ise 4 vardır.
3 ve 4'ün en küçük ortak katı 12'dir. Her iki oranı da b'nin değeri 12 olacak şekilde genişletelim.
İlk oranı 4 ile genişlet: a/b = (2*4)/(3*4) = 8/12. Buradan a=8k, b=12k.
İkinci oranı 3 ile genişlet: b/c = (4*3)/(5*3) = 12/15. Buradan b=12k, c=15k.
Sonuç olarak a, b ve c sırasıyla 8, 12 ve 15 ile orantılıdır.
Çözüm:
En içteki parantezden başlayarak denklemi adım adım açalım.
1 - [2 - 3 + x] = 2x - 5
Köşeli parantezin içini sadeleştirelim:
1 - [-1 + x] = 2x - 5
Şimdi köşeli parantezin önündeki eksiyi dağıtalım:
1 - (-1) - x = 2x - 5
1 + 1 - x = 2x - 5
2 - x = 2x - 5
Sabitleri sola, x'leri sağa toplayalım:
2 + 5 = 2x + x
7 = 3x => x = 7/3.
Çözüm:
A makinesi 1 saatte işin 1/10'unu yapar.
A makinesi 4 saatte işin 4 * (1/10) = 4/10 = 2/5'ini yapar.
İşin tamamı 1 (yani 5/5) olduğuna göre, geriye kalan iş:
1 - 2/5 = 3/5'idir.
B makinesi işin tamamını 15 saatte yapıyorsa, kalan 3/5'lik kısmı kaç saatte yapar?
Süre = İş Miktarı * Tamamını Bitirme Süresi = (3/5) * 15 = 45/5 = 9 saat.
B makinesi kalan işi 9 saatte bitirir.
Çözüm:
İki reel sayının kareleri toplamı sıfır ise, bu sayıların her biri ayrı ayrı sıfır olmak zorundadır. Çünkü negatif olmayan iki sayının toplamının sıfır olması ancak bu şekilde mümkündür.
1. Denklem: 2x - y - 7 = 0 => 2x - y = 7
2. Denklem: x + y - 5 = 0 => x + y = 5
Elde ettiğimiz bu iki bilinmeyenli denklem sistemini taraf tarafa toplayalım:
(2x - y) + (x + y) = 7 + 5
3x = 12 => x = 4.
x + y = 5 denkleminde x'i yerine yazalım:
4 + y = 5 => y = 1.
Bizden istenen x*y çarpımıdır: 4 * 1 = 4.
Harika Performans!
Denklemler konusunun altıncı testini başarıyla tamamladınız.
Zorlayıcı problem türlerinde bile ne kadar yetkin olduğunuzu gösterdiniz. Matematik yolculuğunuzda zirveye yaklaşıyorsunuz!