Asal Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 1
Çözüm:
240 sayısını en küçük asal sayı olan 2'ye bölerek başlayalım.
240 / 2 = 120
120 / 2 = 60
60 / 2 = 30
30 / 2 = 15
15 / 3 = 5
5 / 5 = 1
Dört tane 2, bir tane 3 ve bir tane 5 çarpanı bulduk. Bu da 2⁴ · 3 · 5 demektir.
Çözüm:
Bir sayının asal çarpanları, üslü biçimde yazıldığında tabanda bulunan asal sayılardır.
A sayısının asal çarpanları {2, 3, 5}'tir.
Bu asal çarpanların en büyüğü 5'tir.
Bu asal çarpanların en küçüğü 2'dir.
Farkları: 5 - 2 = 3.
Çözüm:
Pozitif Bölen Sayısını (PBS) bulmak için önce sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.
90 = 9 · 10 = 3² · (2 · 5) = 2¹ · 3² · 5¹
PBS formülü, asal çarpanların üslerinin birer artırılıp çarpılmasıdır.
PBS = (1+1) · (2+1) · (1+1)
PBS = 2 · 3 · 2 = 12.
Çözüm:
Tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının 2 katına eşittir (her pozitif bölenin bir de negatif karşılığı vardır).
Önce 360'ın pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım.
360 = 36 · 10 = (2² · 3²) · (2 · 5) = 2³ · 3² · 5¹
PBS = (3+1) · (2+1) · (1+1) = 4 · 3 · 2 = 24.
Tam Bölen Sayısı (TBS) = 2 * PBS = 2 * 24 = 48.
50 · x = y²
olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sağ tarafı bir tam kare olduğuna göre, sol tarafı da bir tam kare olmalıdır. Bunun için sol taraftaki ifadenin asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
Önce 50'yi asal çarpanlarına ayıralım: 50 = 2 · 25 = 2¹ · 5².
Denklem: (2¹ · 5²) · x = y²
5'in üssü (2) zaten çifttir. Ancak 2'nin üssü (1) tektir. Bu üssü en küçük çift sayı olan 2'ye tamamlamak için ifadeyi 2¹ ile çarpmamız gerekir.
Dolayısıyla x'in alabileceği en küçük değer 2'dir.
Çözüm:
Bu soruyu iki adımda çözeriz:
1. Toplam pozitif bölen sayısını (PBS) buluruz.
2. Toplam PBS'den asal bölenlerin sayısını çıkarırız.
Adım 1: 200 = 2 · 100 = 2 · 10² = 2 · (2 · 5)² = 2 · 2² · 5² = 2³ · 5².
PBS = (3+1) · (2+1) = 4 · 3 = 12.
Adım 2: 200'ün asal bölenleri {2, 5} olmak üzere 2 tanedir.
Asal olmayan pozitif bölen sayısı = Toplam PBS - Asal Bölen Sayısı = 12 - 2 = 10.
Çözüm:
Çift bölenlerin sayısını bulmanın en kolay yolu, toplam bölen sayısından tek bölenlerin sayısını çıkarmaktır.
1. Adım: Toplam pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım.
360 = 36 · 10 = (2² · 3²) · (2 · 5) = 2³ · 3² · 5¹.
PBS = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 · 3 · 2 = 24.
2. Adım: Tek bölenlerin sayısını bulalım. Tek bölenler, sayının içindeki tek asal çarpanlardan (3 ve 5) oluşur. 2 çarpanı tamamen yok sayılır.
Tek bölenleri oluşturan ifade: 3² · 5¹.
Tek Bölen Sayısı = (2+1)(1+1) = 3 · 2 = 6.
3. Adım: Çift bölen sayısını bulalım.
Çift Bölen Sayısı = Toplam PBS - Tek Bölen Sayısı = 24 - 6 = 18.
Çözüm:
En az fidan sayısı için, fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu mesafe, hem 48'i hem de 60'ı tam bölmelidir. Yani aradığımız şey 48 ve 60'ın En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'dir.
48 = 2⁴ · 3
60 = 2² · 3 · 5
EBOB(48, 60) = 2² · 3 = 12 metre. (İki fidan arası mesafe)
Gerekli fidan sayısı, bahçenin çevresinin EBOB'a bölünmesiyle bulunur.
Çevre = 2 * (48 + 60) = 2 * 108 = 216 metre.
Fidan Sayısı = Çevre / EBOB = 216 / 12 = 18.
Çözüm:
Bir faktöriyelin içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için, o sayı sürekli olarak asal çarpana bölünür ve elde edilen bölümler toplanır.
15 / 2 = 7
7 / 2 = 3
3 / 2 = 1
Bölümleri toplarız: 7 + 3 + 1 = 11.
Dolayısıyla 15! sayısının içinde 11 tane 2 çarpanı vardır.
Çözüm:
Pozitif Bölenlerin Toplamı (PBT) formülü, her bir asal çarpanın sıfırıncı kuvvetinden kendi kuvvetine kadar olan üslerinin toplamının çarpılmasıyla bulunur.
A = 2² · 3¹ · 5²
PBT = (2⁰+2¹+2²) · (3⁰+3¹) · (5⁰+5¹+5²)
PBT = (1+2+4) · (1+3) · (1+5+25)
PBT = (7) · (4) · (31)
PBT = 28 · 31 = 868.
Çözüm:
Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için, sayının içindeki 10 çarpanı sayısını, yani 5 çarpanı sayısını bulmalıyız (çünkü 2 çarpanı her zaman daha fazladır).
Önce ifadeyi ortak paranteze alalım:
K = 7! + 8 · 7!
K = 7! · (1 + 8)
K = 7! · 9 = 7! · 3²
Şimdi 7! içindeki 5 çarpanı sayısını bulalım:
7 / 5 = 1.
7! içinde sadece 1 tane 5 çarpanı vardır. 9'un (3²) içinde ise hiç 5 çarpanı yoktur.
Dolayısıyla K sayısının içinde toplam 1 tane 5 çarpanı vardır, bu da sondan sadece 1 basamağının sıfır olduğu anlamına gelir.
Çözüm:
İki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir.
EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b
Bu kuralı sorumuza uygulayalım:
EBOB(12, x) · EKOK(12, x) = 12 · x
4 · 144 = 12 · x
576 = 12 · x
x = 576 / 12
x = 48.
Tebrikler!
"Asal Çarpanlara Ayırma" konusunun ilk testini başarıyla tamamladın.
Bu temel konu üzerindeki hakimiyetin, daha ileri matematik konularında sana büyük kolaylık sağlayacak!
Asal Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 1
Çözüm:
240 sayısını en küçük asal sayı olan 2'ye bölerek başlayalım.
240 / 2 = 120
120 / 2 = 60
60 / 2 = 30
30 / 2 = 15
15 / 3 = 5
5 / 5 = 1
Dört tane 2, bir tane 3 ve bir tane 5 çarpanı bulduk. Bu da 2⁴ · 3 · 5 demektir.
Çözüm:
Bir sayının asal çarpanları, üslü biçimde yazıldığında tabanda bulunan asal sayılardır.
A sayısının asal çarpanları {2, 3, 5}'tir.
Bu asal çarpanların en büyüğü 5'tir.
Bu asal çarpanların en küçüğü 2'dir.
Farkları: 5 - 2 = 3.
Çözüm:
Pozitif Bölen Sayısını (PBS) bulmak için önce sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.
90 = 9 · 10 = 3² · (2 · 5) = 2¹ · 3² · 5¹
PBS formülü, asal çarpanların üslerinin birer artırılıp çarpılmasıdır.
PBS = (1+1) · (2+1) · (1+1)
PBS = 2 · 3 · 2 = 12.
Çözüm:
Tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının 2 katına eşittir (her pozitif bölenin bir de negatif karşılığı vardır).
Önce 360'ın pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım.
360 = 36 · 10 = (2² · 3²) · (2 · 5) = 2³ · 3² · 5¹
PBS = (3+1) · (2+1) · (1+1) = 4 · 3 · 2 = 24.
Tam Bölen Sayısı (TBS) = 2 * PBS = 2 * 24 = 48.
50 · x = y²
olduğuna göre, x'in alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sağ tarafı bir tam kare olduğuna göre, sol tarafı da bir tam kare olmalıdır. Bunun için sol taraftaki ifadenin asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
Önce 50'yi asal çarpanlarına ayıralım: 50 = 2 · 25 = 2¹ · 5².
Denklem: (2¹ · 5²) · x = y²
5'in üssü (2) zaten çifttir. Ancak 2'nin üssü (1) tektir. Bu üssü en küçük çift sayı olan 2'ye tamamlamak için ifadeyi 2¹ ile çarpmamız gerekir.
Dolayısıyla x'in alabileceği en küçük değer 2'dir.
Çözüm:
Bu soruyu iki adımda çözeriz:
1. Toplam pozitif bölen sayısını (PBS) buluruz.
2. Toplam PBS'den asal bölenlerin sayısını çıkarırız.
Adım 1: 200 = 2 · 100 = 2 · 10² = 2 · (2 · 5)² = 2 · 2² · 5² = 2³ · 5².
PBS = (3+1) · (2+1) = 4 · 3 = 12.
Adım 2: 200'ün asal bölenleri {2, 5} olmak üzere 2 tanedir.
Asal olmayan pozitif bölen sayısı = Toplam PBS - Asal Bölen Sayısı = 12 - 2 = 10.
Çözüm:
Çift bölenlerin sayısını bulmanın en kolay yolu, toplam bölen sayısından tek bölenlerin sayısını çıkarmaktır.
1. Adım: Toplam pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım.
360 = 36 · 10 = (2² · 3²) · (2 · 5) = 2³ · 3² · 5¹.
PBS = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 · 3 · 2 = 24.
2. Adım: Tek bölenlerin sayısını bulalım. Tek bölenler, sayının içindeki tek asal çarpanlardan (3 ve 5) oluşur. 2 çarpanı tamamen yok sayılır.
Tek bölenleri oluşturan ifade: 3² · 5¹.
Tek Bölen Sayısı = (2+1)(1+1) = 3 · 2 = 6.
3. Adım: Çift bölen sayısını bulalım.
Çift Bölen Sayısı = Toplam PBS - Tek Bölen Sayısı = 24 - 6 = 18.
Çözüm:
En az fidan sayısı için, fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olması gerekir. Bu mesafe, hem 48'i hem de 60'ı tam bölmelidir. Yani aradığımız şey 48 ve 60'ın En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'dir.
48 = 2⁴ · 3
60 = 2² · 3 · 5
EBOB(48, 60) = 2² · 3 = 12 metre. (İki fidan arası mesafe)
Gerekli fidan sayısı, bahçenin çevresinin EBOB'a bölünmesiyle bulunur.
Çevre = 2 * (48 + 60) = 2 * 108 = 216 metre.
Fidan Sayısı = Çevre / EBOB = 216 / 12 = 18.
Çözüm:
Bir faktöriyelin içindeki bir asal çarpanın sayısını bulmak için, o sayı sürekli olarak asal çarpana bölünür ve elde edilen bölümler toplanır.
15 / 2 = 7
7 / 2 = 3
3 / 2 = 1
Bölümleri toplarız: 7 + 3 + 1 = 11.
Dolayısıyla 15! sayısının içinde 11 tane 2 çarpanı vardır.
Çözüm:
Pozitif Bölenlerin Toplamı (PBT) formülü, her bir asal çarpanın sıfırıncı kuvvetinden kendi kuvvetine kadar olan üslerinin toplamının çarpılmasıyla bulunur.
A = 2² · 3¹ · 5²
PBT = (2⁰+2¹+2²) · (3⁰+3¹) · (5⁰+5¹+5²)
PBT = (1+2+4) · (1+3) · (1+5+25)
PBT = (7) · (4) · (31)
PBT = 28 · 31 = 868.
Çözüm:
Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için, sayının içindeki 10 çarpanı sayısını, yani 5 çarpanı sayısını bulmalıyız (çünkü 2 çarpanı her zaman daha fazladır).
Önce ifadeyi ortak paranteze alalım:
K = 7! + 8 · 7!
K = 7! · (1 + 8)
K = 7! · 9 = 7! · 3²
Şimdi 7! içindeki 5 çarpanı sayısını bulalım:
7 / 5 = 1.
7! içinde sadece 1 tane 5 çarpanı vardır. 9'un (3²) içinde ise hiç 5 çarpanı yoktur.
Dolayısıyla K sayısının içinde toplam 1 tane 5 çarpanı vardır, bu da sondan sadece 1 basamağının sıfır olduğu anlamına gelir.
Çözüm:
İki sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir.
EBOB(a, b) · EKOK(a, b) = a · b
Bu kuralı sorumuza uygulayalım:
EBOB(12, x) · EKOK(12, x) = 12 · x
4 · 144 = 12 · x
576 = 12 · x
x = 576 / 12
x = 48.
Tebrikler!
"Asal Çarpanlara Ayırma" konusunun ilk testini başarıyla tamamladın.
Bu temel konu üzerindeki hakimiyetin, daha ileri matematik konularında sana büyük kolaylık sağlayacak!