Asal Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 2
x² = 180 · y
olduğuna göre, y'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sol tarafı bir tam kare olduğuna göre, sağ tarafı da bir tam kare olmalıdır. Bunun için sağ taraftaki ifadenin asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
Önce 180'i asal çarpanlarına ayıralım: 180 = 18 · 10 = (2 · 3²) · (2 · 5) = 2² · 3² · 5¹.
Denklem: x² = (2² · 3² · 5¹) · y
2'nin ve 3'ün üsleri (2) zaten çifttir. Ancak 5'in üssü (1) tektir. Bu üssü en küçük çift sayı olan 2'ye tamamlamak için ifadeyi 5¹ ile çarpmamız gerekir.
Dolayısıyla y'nin alabileceği en küçük değer 5'tir.
Çözüm:
Bir sayının tek bölenlerini bulmak için, o sayının asal çarpanları arasındaki çift olanları (yani 2'yi ve kuvvetlerini) tamamen yok sayarız.
Önce 150'yi asal çarpanlarına ayıralım: 150 = 15 · 10 = (3 · 5) · (2 · 5) = 2¹ · 3¹ · 5².
Tek bölenleri bulmak için 2¹ çarpanını görmezden geliriz. Geriye 3¹ · 5² ifadesi kalır.
Şimdi bu ifadenin pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım:
Tek Bölen Sayısı = (1+1) · (2+1) = 2 · 3 = 6.
Çözüm:
Pozitif Bölenlerin Toplamı (PBT) formülü için önce sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.
120 = 12 · 10 = (2² · 3) · (2 · 5) = 2³ · 3¹ · 5¹
PBT formülü: (p₁⁰+...+p₁ᵃ) · (p₂⁰+...+p₂ᵇ) ...
PBT = (2⁰+2¹+2²+2³) · (3⁰+3¹) · (5⁰+5¹)
PBT = (1+2+4+8) · (1+3) · (1+5)
PBT = (15) · (4) · (6) = 360.
40! = a · 6ⁿ
olduğuna göre, n'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
6ⁿ = (2 · 3)ⁿ = 2ⁿ · 3ⁿ. Bir sayının içinde kaç tane 6 çarpanı olduğunu bulmak için, hem 2 hem de 3 çarpanlarının sayısını buluruz. 6 çarpanı sayısı, bu sayılardan az olanın (yani 3'ün) sayısına eşit olur.
Dolayısıyla 40! içindeki 3 çarpanı sayısını bulmamız yeterlidir.
40 / 3 = 13
13 / 3 = 4
4 / 3 = 1
Bölümleri toplarız: 13 + 4 + 1 = 18.
40! içinde 18 tane 3 çarpanı vardır (2 çarpanı sayısı çok daha fazladır). Bu nedenle n en fazla 18 olabilir.
Çözüm:
En az sayıda şişe kullanmak için, şişelerin hacminin en büyük olması gerekir. Şişe hacmi hem 24'ü hem de 36'yı tam bölmelidir. Yani aradığımız şey EBOB(24, 36)'dır.
24 = 2³ · 3
36 = 2² · 3²
EBOB(24, 36) = 2² · 3 = 12 litre (Bir şişenin alabileceği en büyük hacim).
Gerekli şişe sayısını bulmak için her bir zeytinyağı miktarını EBOB'a böler ve sonuçları toplarız:
Birinci yağ için: 24 / 12 = 2 şişe.
İkinci yağ için: 36 / 12 = 3 şişe.
Toplam şişe sayısı = 2 + 3 = 5.
Çözüm:
Pozitif Bölen Sayısını (PBS) bulmadan önce sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.
15³ = (3 · 5)³
Üslü sayıların özelliğinden, üs içeri dağıtılır:
15³ = 3³ · 5³
Şimdi PBS formülünü uygulayabiliriz (üsleri bir artırıp çarp):
PBS = (3+1) · (3+1) = 4 · 4 = 16.
Çözüm:
Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için ifadenin içindeki 5 çarpanı sayısını bulmalıyız.
Önce ifadeyi küçük olanın parantezine alarak düzenleyelim:
25! + 26 · 25!
25! · (1 + 26)
25! · 27 = 25! · 3³
27'nin içinde 5 çarpanı yoktur. Dolayısıyla sadece 25! içindeki 5 çarpanı sayısını bulmamız yeterlidir.
25 / 5 = 5
5 / 5 = 1
Bölümleri toplarız: 5 + 1 = 6.
Bu sayının içinde 6 tane 5 çarpanı olduğundan, sondan 6 basamağı sıfırdır.
a + 18/b = 12
olduğuna göre, b kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.
Yani, a · b = 90.
İkinci denklemde payda eşitleyelim:
(a · b + 18) / b = 12
a · b yerine 90 yazalım:
(90 + 18) / b = 12
108 / b = 12
b = 108 / 12 = 9.
Kontrol edelim: b=9 ise a=10 olur. 10 ve 9 aralarında asaldır. Koşul sağlanıyor.
Çözüm:
Sayıları ve EBOB/EKOK'u asal çarpanlarına ayıralım.
12 = 2² · 3¹
18 = 2¹ · 3²
x = 2ᵃ · 3ᵇ · 5ᶜ
EBOB = 6 = 2¹ · 3¹
EKOK = 180 = 2² · 3² · 5¹
EBOB için her asal çarpanın en küçük üssü alınır: min(2,1,a)=1 => a=1 olmalı. min(1,2,b)=1 => b=1 olmalı.
EKOK için her asal çarpanın en büyük üssü alınır: max(2,1,a)=2 (zaten var), max(1,2,b)=2 (zaten var), max(0,0,c)=1 => c=1 olmalı.
x'in çarpanları için bulduğumuz üsler: a=1, b=1, c=1.
x = 2¹ · 3¹ · 5¹ = 30.
Bu değer EBOB ve EKOK koşullarını sağlayan en küçük x değeridir.
Çözüm:
Bir sayının tam küp olması için, o sayının asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı olması gerekir.
Önce 180'i asal çarpanlarına ayıralım:
180 = 18 · 10 = (2 · 3²) · (2 · 5) = 2² · 3² · 5¹
Çarpım: (2² · 3² · 5¹) · n
Üsleri 3'ün katlarına tamamlamak için n'nin içermesi gereken çarpanlar:
2²'yi 2³ yapmak için 2¹ gerekir.
3²'yi 3³ yapmak için 3¹ gerekir.
5¹'i 5³ yapmak için 5² gerekir.
Bu durumda n'nin en küçük değeri: n = 2¹ · 3¹ · 5² = 2 · 3 · 25 = 150.
Çözüm:
İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyelim.
A = 6² + (2 · 6)² + (3 · 6)²
A = 6² + 2² · 6² + 3² · 6²
A = 6² · (1 + 2² + 3²)
A = 6² · (1 + 4 + 9)
A = 6² · 14
Şimdi ifadeyi tamamen asal çarpanlarına ayıralım:
A = (2 · 3)² · (2 · 7) = 2² · 3² · 2 · 7 = 2³ · 3² · 7¹
A sayısının asal bölenleri {2, 3, 7}'dir. Bu asal bölenlerin en büyüğü 7'dir.
Çözüm:
Bir sayının 15 ile tam bölünebilmesi için hem 3'e hem de 5'e tam bölünmesi gerekir.
5'e bölünme kuralı: Son basamak 0 veya 5 olmalıdır. Yani B=0 veya B=5.
Durum 1: B = 0
Sayı: 3A40. Rakamları farklı olmalı: A ≠ 3, 4, 0.
3'e bölünme kuralı: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
3 + A + 4 + 0 = 7 + A. Toplamın 3'ün katı olması için A={2, 5, 8} olabilir. Bu değerlerin hepsi 3, 4, 0'dan farklı olduğu için geçerlidir.
Durum 2: B = 5
Sayı: 3A45. Rakamları farklı olmalı: A ≠ 3, 4, 5.
Rakamları toplamı: 3 + A + 4 + 5 = 12 + A. Toplamın 3'ün katı olması için A={0, 3, 6, 9} olabilir. A≠3 koşulundan dolayı A={0, 6, 9} geçerlidir.
A'nın alabileceği tüm değerler: {2, 5, 8} ve {0, 6, 9}.
Toplamları = 2 + 5 + 8 + 0 + 6 + 9 = 30.
Harika Gidiyorsun!
"Asal Çarpanlara Ayırma" konusunun ikinci testini de tamamladın.
Problem çözme hızın ve konuya olan hakimiyetin artıyor. Bir sonraki teste hazırsın!
Asal Çarpanlara Ayırma - İnteraktif Test 2
x² = 180 · y
olduğuna göre, y'nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sol tarafı bir tam kare olduğuna göre, sağ tarafı da bir tam kare olmalıdır. Bunun için sağ taraftaki ifadenin asal çarpanlarının üsleri çift olmalıdır.
Önce 180'i asal çarpanlarına ayıralım: 180 = 18 · 10 = (2 · 3²) · (2 · 5) = 2² · 3² · 5¹.
Denklem: x² = (2² · 3² · 5¹) · y
2'nin ve 3'ün üsleri (2) zaten çifttir. Ancak 5'in üssü (1) tektir. Bu üssü en küçük çift sayı olan 2'ye tamamlamak için ifadeyi 5¹ ile çarpmamız gerekir.
Dolayısıyla y'nin alabileceği en küçük değer 5'tir.
Çözüm:
Bir sayının tek bölenlerini bulmak için, o sayının asal çarpanları arasındaki çift olanları (yani 2'yi ve kuvvetlerini) tamamen yok sayarız.
Önce 150'yi asal çarpanlarına ayıralım: 150 = 15 · 10 = (3 · 5) · (2 · 5) = 2¹ · 3¹ · 5².
Tek bölenleri bulmak için 2¹ çarpanını görmezden geliriz. Geriye 3¹ · 5² ifadesi kalır.
Şimdi bu ifadenin pozitif bölen sayısını (PBS) bulalım:
Tek Bölen Sayısı = (1+1) · (2+1) = 2 · 3 = 6.
Çözüm:
Pozitif Bölenlerin Toplamı (PBT) formülü için önce sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.
120 = 12 · 10 = (2² · 3) · (2 · 5) = 2³ · 3¹ · 5¹
PBT formülü: (p₁⁰+...+p₁ᵃ) · (p₂⁰+...+p₂ᵇ) ...
PBT = (2⁰+2¹+2²+2³) · (3⁰+3¹) · (5⁰+5¹)
PBT = (1+2+4+8) · (1+3) · (1+5)
PBT = (15) · (4) · (6) = 360.
40! = a · 6ⁿ
olduğuna göre, n'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
6ⁿ = (2 · 3)ⁿ = 2ⁿ · 3ⁿ. Bir sayının içinde kaç tane 6 çarpanı olduğunu bulmak için, hem 2 hem de 3 çarpanlarının sayısını buluruz. 6 çarpanı sayısı, bu sayılardan az olanın (yani 3'ün) sayısına eşit olur.
Dolayısıyla 40! içindeki 3 çarpanı sayısını bulmamız yeterlidir.
40 / 3 = 13
13 / 3 = 4
4 / 3 = 1
Bölümleri toplarız: 13 + 4 + 1 = 18.
40! içinde 18 tane 3 çarpanı vardır (2 çarpanı sayısı çok daha fazladır). Bu nedenle n en fazla 18 olabilir.
Çözüm:
En az sayıda şişe kullanmak için, şişelerin hacminin en büyük olması gerekir. Şişe hacmi hem 24'ü hem de 36'yı tam bölmelidir. Yani aradığımız şey EBOB(24, 36)'dır.
24 = 2³ · 3
36 = 2² · 3²
EBOB(24, 36) = 2² · 3 = 12 litre (Bir şişenin alabileceği en büyük hacim).
Gerekli şişe sayısını bulmak için her bir zeytinyağı miktarını EBOB'a böler ve sonuçları toplarız:
Birinci yağ için: 24 / 12 = 2 şişe.
İkinci yağ için: 36 / 12 = 3 şişe.
Toplam şişe sayısı = 2 + 3 = 5.
Çözüm:
Pozitif Bölen Sayısını (PBS) bulmadan önce sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.
15³ = (3 · 5)³
Üslü sayıların özelliğinden, üs içeri dağıtılır:
15³ = 3³ · 5³
Şimdi PBS formülünü uygulayabiliriz (üsleri bir artırıp çarp):
PBS = (3+1) · (3+1) = 4 · 4 = 16.
Çözüm:
Sondan kaç basamağın sıfır olduğunu bulmak için ifadenin içindeki 5 çarpanı sayısını bulmalıyız.
Önce ifadeyi küçük olanın parantezine alarak düzenleyelim:
25! + 26 · 25!
25! · (1 + 26)
25! · 27 = 25! · 3³
27'nin içinde 5 çarpanı yoktur. Dolayısıyla sadece 25! içindeki 5 çarpanı sayısını bulmamız yeterlidir.
25 / 5 = 5
5 / 5 = 1
Bölümleri toplarız: 5 + 1 = 6.
Bu sayının içinde 6 tane 5 çarpanı olduğundan, sondan 6 basamağı sıfırdır.
a + 18/b = 12
olduğuna göre, b kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal iki sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir.
Yani, a · b = 90.
İkinci denklemde payda eşitleyelim:
(a · b + 18) / b = 12
a · b yerine 90 yazalım:
(90 + 18) / b = 12
108 / b = 12
b = 108 / 12 = 9.
Kontrol edelim: b=9 ise a=10 olur. 10 ve 9 aralarında asaldır. Koşul sağlanıyor.
Çözüm:
Sayıları ve EBOB/EKOK'u asal çarpanlarına ayıralım.
12 = 2² · 3¹
18 = 2¹ · 3²
x = 2ᵃ · 3ᵇ · 5ᶜ
EBOB = 6 = 2¹ · 3¹
EKOK = 180 = 2² · 3² · 5¹
EBOB için her asal çarpanın en küçük üssü alınır: min(2,1,a)=1 => a=1 olmalı. min(1,2,b)=1 => b=1 olmalı.
EKOK için her asal çarpanın en büyük üssü alınır: max(2,1,a)=2 (zaten var), max(1,2,b)=2 (zaten var), max(0,0,c)=1 => c=1 olmalı.
x'in çarpanları için bulduğumuz üsler: a=1, b=1, c=1.
x = 2¹ · 3¹ · 5¹ = 30.
Bu değer EBOB ve EKOK koşullarını sağlayan en küçük x değeridir.
Çözüm:
Bir sayının tam küp olması için, o sayının asal çarpanlarının üslerinin 3'ün katı olması gerekir.
Önce 180'i asal çarpanlarına ayıralım:
180 = 18 · 10 = (2 · 3²) · (2 · 5) = 2² · 3² · 5¹
Çarpım: (2² · 3² · 5¹) · n
Üsleri 3'ün katlarına tamamlamak için n'nin içermesi gereken çarpanlar:
2²'yi 2³ yapmak için 2¹ gerekir.
3²'yi 3³ yapmak için 3¹ gerekir.
5¹'i 5³ yapmak için 5² gerekir.
Bu durumda n'nin en küçük değeri: n = 2¹ · 3¹ · 5² = 2 · 3 · 25 = 150.
Çözüm:
İfadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyelim.
A = 6² + (2 · 6)² + (3 · 6)²
A = 6² + 2² · 6² + 3² · 6²
A = 6² · (1 + 2² + 3²)
A = 6² · (1 + 4 + 9)
A = 6² · 14
Şimdi ifadeyi tamamen asal çarpanlarına ayıralım:
A = (2 · 3)² · (2 · 7) = 2² · 3² · 2 · 7 = 2³ · 3² · 7¹
A sayısının asal bölenleri {2, 3, 7}'dir. Bu asal bölenlerin en büyüğü 7'dir.
Çözüm:
Bir sayının 15 ile tam bölünebilmesi için hem 3'e hem de 5'e tam bölünmesi gerekir.
5'e bölünme kuralı: Son basamak 0 veya 5 olmalıdır. Yani B=0 veya B=5.
Durum 1: B = 0
Sayı: 3A40. Rakamları farklı olmalı: A ≠ 3, 4, 0.
3'e bölünme kuralı: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalı.
3 + A + 4 + 0 = 7 + A. Toplamın 3'ün katı olması için A={2, 5, 8} olabilir. Bu değerlerin hepsi 3, 4, 0'dan farklı olduğu için geçerlidir.
Durum 2: B = 5
Sayı: 3A45. Rakamları farklı olmalı: A ≠ 3, 4, 5.
Rakamları toplamı: 3 + A + 4 + 5 = 12 + A. Toplamın 3'ün katı olması için A={0, 3, 6, 9} olabilir. A≠3 koşulundan dolayı A={0, 6, 9} geçerlidir.
A'nın alabileceği tüm değerler: {2, 5, 8} ve {0, 6, 9}.
Toplamları = 2 + 5 + 8 + 0 + 6 + 9 = 30.
Harika Gidiyorsun!
"Asal Çarpanlara Ayırma" konusunun ikinci testini de tamamladın.
Problem çözme hızın ve konuya olan hakimiyetin artıyor. Bir sonraki teste hazırsın!